對偶小波框架

在數學上，一個對偶小波（dual wavelet）為小波的對偶。一般情形下，在里斯表示定理(Riesz representation theorem)中，由平方可積函式(square integral function)產生的小波級數(wavelet series)具有對偶級數。然而， 對偶級數一般並不是由平方可積函式本身表示。

基本介紹

• 中文名：對偶小波框架
• 外文名：dual wavelet
• 分類：小波分析、對偶理論
• 領域：數理科學

定義

給一個平方可積函式, 定義級數由

給整數

這種函式稱為R函式(R-function)，假如的線性展延在上,且假如存在一個正的常數A,B，其中如下式

對於所有雙無限平方累加(bi-infinite square summable)級數在這裡，代表平方和範數:

而代表在的通常範數(usual norm):

由里斯表示定理(Riesz representation theorem)，存在一個獨特的對偶基底(dual basis)如下式

為克羅內克函式(Kronecker delta)，而為在的內積(inner produce)。確實，這裡存在一個對於平方可積函式f表示基底的特殊級數表示:

假如這裡存在一個函式如下式

稱為對偶小波(dual wavelet)或是小波對偶至ψ(wavelet dual to ψ). 一般來說，對於一些R函式(R-function)ψ,對偶不一定存在。在特別情況中,這個小波稱為正交小波(orthogonal wavelet)。

對偶小波框架

對偶小波框架(dual wavelet frame)一類特殊的對偶框架，互為對偶的兩個框架均由小波產生.假設}G(x)為可允許小波，使得{}m.n l m.nEZ是小波框架.若存在可允許小波i} ( x，使得{譏:,n 1 m,nEZ是}}m,n}m,nE1的對偶框架，則稱{}m,n}m.nEZ是{}m,n 1 m.nEZ的對偶小波框架，這時二者互為對偶小波框架.