調和測度

調和測度(harmonic measure)是特殊的狄利克雷問題的解，是邊界點集的一種測度。設D為一個區域，其邊界∂D由有限條若爾當弧組成，∂D分為α和β兩部分，則在D記憶體在惟一的一個有界調和函式u(z)在α上取邊值1，在β上取邊值0，稱u(z)為α關於區域D的調和測度，記為ω(z，α，D)。

基本介紹

• 中文名：調和測度
• 外文名：harmonic measure
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：複變函數論(調和函式)
• 相關概念：狄利克雷問題、測度、若爾當弧等
• 符號：ω(z，α，D)

定義

設區域 的邊界是由有限條簡單閉曲線組成， 表示 上的某有限條曲段， 一個D內的有界調和函式 滿足：當 時

當 且 時，

則稱 為點 關於 的調和測度。

顯然調和測度是由邊值函式 所確定的有界的廣義狄里克雷問題的解。這個解存在且唯一。

基本性質

調和測度 具有如下基本性質：

(1) 若 不是由有限個點組成的，則 不為常數，並且對於任意的 有 。

(2) 設 ，則

特別地，

(3) 若 則

(4) 如果 的邊界有非空交集，且 則對任意的 有

(5) (共形不變性)設 為區域D上的共形映射， 則

這些性質都是不難理解的。

定理1 ( 二常數定理)設 在區域D內解析，C為D的邊界，由有限條簡單閉曲線組成， 是屬於C的有限條弧段， 為 關於C的余集，如果 在區域D上有界，並且對於異於 端點的邊界點 有

則對於D內任何一點z，有