局部超調和函式

在Brelot調和空間(X，H)中，設G為開集，則稱H(G)中的函式為G上的調和函式。對G上的下半連續函式u，若G中每一點x有一個開鄰域V_x，使得對任何一個閉包包含於V_x的正則區域D恆有μu≤u在D成立，則稱u在G上(相對於H)是局部超調和的。用U_H(G)表示G上所有相對於H是局部超調和的函式全體，則容易看到，對所有開集都作同樣考慮得到的函式簇U_H是X上的一個超調和簇且當記U'=U_H時有H_U'=H。

基本介紹

• 中文名：局部超調和函式
• 外文名：locally hyperharmonic function
• 所屬學科：位勢論(公理化位勢論)
• 特點：每一點的某個鄰域上有超調和性

基本介紹

局部超調和函式(locally hyperharmonic function)是指在每一點的某個鄰域上有超調和性的函式。設U是一個開集，u是U上的取值於 的下半連續函式，如果對每一 ，存在 的開鄰域 ，使得對任何滿足 的正則區域 ，在 上恆有 ( 是V的U調和測度)，那么u稱為U上的(相對於H的)局部超調和函式，記 為U上的局部超調和函式全體，則 是X上的超調和簇，稱為由H產生的超調和簇，並且，H就是與 相關的調和簇。

相關定理

引理1 設 是Brelot調和空間，G為區域且 ，若u在G是正的(即 )且有 使得 ，則u在G上恆等於0。

證明: 設 ，則 為 中的單調增加列，因為 有界(實際上，每個 )，由公理3知

故對G中的x都有 ；所以 。

引理2 設是Brelot調和空間，D是一個正則區域，W是一個開集使得 ．那么對D中每個x成立

引理3 設是Brelot調和空間，D是X的一個區域，。若u在D的一個非空開子集W上恆等於，則它在D上也恆等於．換言之，u在D要么恆等於，要么在D的一個稠密子集恆等於。

證明：設{在x的一個開鄰域上恆等於}，顯然A是包含W的開集，我們斷言A=D，否則，設G是A的一個連通分支，於是且．因D是連通的，非空，設．因，由局部超調和函式的定義，存在z的一個開鄰域V，使得對任何一個閉包包含在V的正則區域U都有，取定一個及一個正則區域U使得且U的閉包包含在．因為G是連通的，故非空。由於u在上恆等於，據上一引理知：對任意有；故

這說明，與z的定義矛盾，故。

定理4 設是Brelot調和空間，D是X的一個區域，且在D上有，若存在D中的點z使得，則。

證明：令，則G為開集，若G非空，令，顯然，．因為在G上。由上一引理知，在D上也有，這表明對任意有。

定理5 設是Brelot調和空間，G是開集，若存在使得，則G是相對於的一個MP集。

定理6 若是Brelot調和空間，則是一個調和空間，而且每個局部超調和函式都是超調和函式，即：若G是開集，，則在任何一個其閉包包含於G的正則區域D上有。

（關於文中所有結論的詳細證明請參考相應書籍）。