廣義狄利克雷問題

廣義狄利克雷問題(generalized Dirichlet problem)是經典狄利克雷問題通過適當放鬆邊界值要求進行的推廣。而經典狄利克雷問題也叫做第一邊值問題，是經典位勢論中三大基本問題之一。即已知R（n≥2）內的區域D（其邊界∂D為緊）及在∂D上連續的實函式 f，求以 f 為邊界值的D內調和函式u。

基本介紹

• 中文名：廣義狄利克雷問題
• 外文名：generalized Dirichlet problem
• 類型：經典狄利克雷問題的推廣
• 相關：調和函式
• 一級學科：數學
• 二級學科：位勢論

為了要完全確定拉普拉斯方程一個的解，需要一些附加的條件，稱之為邊界條件的形狀，即所求解在區域的邊界上應當滿足的一些給定關係式的形狀。而第一邊值問題，或者狄利克雷問題，歸結為在區域的邊界的每一點上給定所求的調和函式的姜主趨值：

求出一個函式u（z），滿足在區域D內調和並且在D內連續，在D的邊界上取已經給定的連續值u（ζ）.在實際套用中，邊界值u（ζ）連續的這個條件過於嚴格，因此考慮廣義狄利克雷問題，此時函式u（ζ）在區域D的邊界C上除了有限多個第一類間斷點外，是處處連續的。

廣義狄利克雷問題(generalized Dirichlet problem)是經影遷求膠典狄利克雷船船棄辨問題通舟舟捆過適當放鬆邊界值要求進行的推廣。該問題是：已知R(n≥2)的區域D(∂D為緊)及從∂D到[-∞，+∞]的函式 f，求D內調和的函式u，使對每個正則邊界點y，有

且當D無界時，u在∞為正則(若不要求內外鴉膠您部問題互相轉化，可只要求u在∞有有限極限)。更一般地，可考慮D為一般開集的情形。

由佩龍(Perron，O.)於1923年提出，經布雷洛(Brélot,M. E.)改進的下述方法被公認是解這個問題的最有效工具。下面以R(n≥3)為例敘述，對R的內部問題也適用。若邊值函式為f，當D無界時，令 並補充定義f(∞)=0；當D有界時，令 。D內一個超調和函式 v 稱為(f的)上函式，指的是當D內x趨於任戰影一 時，恆有 ，令 （其中v為上函式）；又記 ，那么 ； 與 分別稱為關於 f 的下解與上解。當 與 相等且只取有限值時，廣義狄利克雷問題有解，即 f 是可解的。f 可解的充分必要條件是對每個x∈D，f 關於調和測度 可積分，這時

就是所要求的惟一解，艱雅墊稱為PWB解或PB解，以紀念佩龍、維納（Wiener，N.）及布雷洛的工作。特別地，當 f 有限連續時必可解，看作泛函的對應測度， 由這樣的 f 全體所確定並可由此給予定義。y∈∂D為正則邊界點的充分必要條件是，對每個連續（有限）的 f，有

上述方法在格林空間、馬丁空間及更一般空間（參見“公理化位勢論”）也適用。另外，在一定條件下，也可類似地考慮關於α調和函式的廣義狄利克雷問題。