基本介紹
- 中文名：廣義馬丁邊界
- 外文名：generalized Martin boundaries
- 領域：數學
- 學科：位勢論
- 概念：馬丁緊緻化的推廣形式的理想邊界
- 提出者：馬丁
概念,馬丁空間,位勢論,人物簡介,
概念
廣義馬丁邊界(generalized Martin boundaries )是馬丁緊緻化的推廣形式的理想邊界。它有許多種，例如，用某個二階橢圓型方程在Ω的格林函式G′(x，y)代替調和方程的G(x，y)，就得到與該方程某族極小正解相關聯的馬丁邊界Δ′(稱為橢圓馬丁邊界)及極小點全體Δ1′，並可研究Ω∪Δ′上的位勢論性質以及方程的解空間結構；Δ′與Δ及其他理想邊界的關係等是常見課題。特別地，對方程Lu=Pu(P≥0，L是拉普拉斯運算元)， 把Δ1′的基數稱為橢圓維數，記為dimP。中井三留(Nakai，M.)等日本學者在具有一個孤立邊界點的平面區域上對dimP的值域與密度P的關係做了深入研究；另外，對非橢圓方程也可考慮廣義馬丁邊界。
馬丁空間
馬丁空間是位勢論中的一類重要空間。格林空間Ω相對於函式族{Ky(x)|y∈Ω}的緊緻化記為Ω^，並稱Ω^為馬丁空間，其中
位勢論
現代分析數學領域的一個分支，主要研究各種形式的位勢(函式)和與其密切關聯的調和函式、上(下、超、次)調和函式族的各種性質及其套用。經典位勢論的主要研究工具是微積分，並與微分方程、複變函數論緊密關聯；現代位勢論以拓撲、泛函分析與測度論、廣義函式等為主要工具，與分析數學領域的諸多分支相互滲透並和隨機過程建立了深刻的內在聯繫。位勢論起源於物理學的萬有引力學說和靜電學，遠在1733年，拉格朗日(Lagrange，J.-L.)就注意到引力場是一個函式(稱為牛頓位勢)的梯度。
從20世紀40年代起，泛函分析、拓撲學的方法被系統地引入位勢論並使它發展到一個新水平。1941年，嘉當(Cartan，H.)利用希爾伯特空間理論研究具有有限能量的測度等，得到很大成功；同年，馬丁(Martin，R.S.)建立了馬丁邊界理論，導致了關於一般理想邊界的深入研究；1950年，戴尼(Deny，J.)用廣義函式論解決了完備化問題;1955年，紹凱(Choquet，G.)建立了一般容量理論及可容性定理，並用凸錐極端點理論改進了馬丁的成果。此外，對於更一般空間(例如流形、LCA群)和更一般位勢核的位勢論也有了深入的探討。
近30多年來，位勢論迅速發展，其顯著特點之一是各種公理體系的建立。為統一處理已有的理論並加以推廣使之適用於一般橢圓型和拋物型方程或隨機過程，自20世紀50年代中期起，陶茨(Tautz，G.)、杜布(Doob，J.L.)、布雷洛、鮑爾(Bauer，H.)、邦尼(Bony，J.M.)、康斯坦丁斯庫(Constantinescu，C.)和柯尼(Cornea，A.)等人分別提出了不同的公理系統，建立各種形式的調和空間位勢論(最近，關於多重調和空間及非線性位勢論的公理系統也先後建立起來);而戴尼和博靈(Beurling，A.)等人則從能量和狄利克雷積分等概念出發建立了狄利克雷空間論。位勢論發展的另一個顯著特點是，越來越廣泛深入地與相鄰分支，如複分析(包括黎曼曲面)、拓撲學、幾何測度論、微分幾何、微分方程、調和分析等相互結合和滲透，且發揮日益明顯的作用與影響。特別引人注目的是，對於它與隨機過程論之深刻聯繫的深入研究，同時促進了這兩個分支的繁榮和發展，在杜布、亨特(Hunt，G.A.)、邁耶(Meyer，P.A.)和鐘開萊等人出色工作的基礎上，產生了所謂機率位勢論或馬爾可夫過程位勢論，與此有關的課題正吸引著大批學者去做深入研究。
