廣義狄利克雷問題

廣義狄利克雷問題(generalized Dirichlet problem)是經典狄利克雷問題通過適當放鬆邊界值要求進行的推廣。而經典狄利克雷問題也叫做第一邊值問題，是經典位勢論中三大基本問題之一。即已知Rⁿ（n≥2）內的區域D（其邊界∂D為緊）及在∂D上連續的實函式 f，求以 f 為邊界值的D內調和函式u。

基本介紹

• 中文名：廣義狄利克雷問題
• 外文名：generalized Dirichlet problem
• 類型：經典狄利克雷問題的推廣
• 相關：調和函式
• 一級學科：數學
• 二級學科：位勢論

廣義狄利克雷問題的提出

為了要完全確定拉普拉斯方程一個的解，需要一些附加的條件，稱之為邊界條件的形狀，即所求解在區域的邊界上應當滿足的一些給定關係式的形狀。而第一邊值問題，或者狄利克雷問題，歸結為在區域的邊界的每一點上給定所求的調和函式的值：

求出一個函式u（z），滿足在區域D內調和並且在D^-內連續，在D的邊界上取已經給定的連續值u（ζ）.在實際套用中，邊界值u（ζ）連續的這個條件過於嚴格，因此考慮廣義狄利克雷問題，此時函式u（ζ）在區域D的邊界C上除了有限多個第一類間斷點外，是處處連續的。

內容

廣義狄利克雷問題(generalized Dirichlet problem)是經典狄利克雷問題通過適當放鬆邊界值要求進行的推廣。該問題是：已知Rⁿ(n≥2)的區域D(∂D為緊)及從∂D到[-∞，+∞]的函式 f，求D內調和的函式u，使對每個正則邊界點y，有

且當D無界時，u在∞為正則(若不要求內外部問題互相轉化，可只要求u在∞有有限極限)。更一般地，可考慮D為一般開集的情形。

問題解法

由佩龍(Perron，O.)於1923年提出，經布雷洛(Brélot,M. E.)改進的下述方法被公認是解這個問題的最有效工具。下面以Rⁿ(n≥3)為例敘述，對R²的內部問題也適用。若邊值函式為f，當D無界時，令 並補充定義f(∞)=0；當D有界時，令 。D內一個超調和函式 v 稱為(f的)上函式，指的是當D內x趨於任一 時，恆有 ，令 （其中v為上函式）；又記 ，那么 ； 與 分別稱為關於 f 的下解與上解。當 與 相等且只取有限值時，廣義狄利克雷問題有解，即 f 是可解的。f 可解的充分必要條件是對每個x∈D，f 關於調和測度 可積分，這時

就是所要求的惟一解，稱為PWB解或PB解，以紀念佩龍、維納（Wiener，N.）及布雷洛的工作。特別地，當 f 有限連續時必可解，看作泛函的對應測度， 由這樣的 f 全體所確定並可由此給予定義。y∈∂D為正則邊界點的充分必要條件是，對每個連續（有限）的 f，有

上述方法在格林空間、馬丁空間及更一般空間（參見“公理化位勢論”）也適用。另外，在一定條件下，也可類似地考慮關於α調和函式的廣義狄利克雷問題。