泛函不等式與一類馬氏過程的Cutoff現象

《泛函不等式與一類馬氏過程的Cutoff現象》是依託北京師範大學，由馬宇韜擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：泛函不等式與一類馬氏過程的Cutoff現象
• 依託單位：北京師範大學
• 項目負責人：馬宇韜
• 項目類別：面上項目

項目摘要

該項目主要研究機率論中的泛函不等式和一類馬氏過程的Cutoff現象。泛函不等式包括流形上擴散過程的對數Sobolev不等式與某一維擴散對數Sobolev不等式的比較、L2傳輸不等式與L1+Poincare不等式之間的等價關係探討、L2傳輸不等式與L2傳輸信息不等式的嚴格強弱關係、非對稱馬氏過程的傳輸信息不等式、一些具體隨機（偏）微分方程的泛函不等式、一類有實際意義測度的泛函不等式等。我們也將研究一類馬氏過程的cutoff現象，包括生滅過程全變差下cutoff的顯示表達和高維空間中一般馬氏過程的scutoff問題（擴散過程、Levy過程等）。此cutoff現象的研究涉及到馬氏過程擊中時問題，特別是強平穩時和最優耦合時間等精確分布問題和過程的Mobius單調性研究。

結題摘要

考慮n*n的隨機正交矩陣的左上p*q子矩陣，在全變差、Kullback和Helliger等距離下可以看成pq個獨立同分布的標準正態的充要條件。關於n維歐式空間中球面旋轉不變測度的龐加萊不等式，得到了n/n-1倍的上下界估計。以及一維相應情形的精確估計。關於球面上的測度的泛函不等式：球面上Moebius測度的龐加萊與對數Sobolev不等式；球面上調和測度的Sobolev不等式；球面上推廣調和測度的龐加萊不等式以及圈上Moebius測度的龐加萊不等式。另外還研究了球面上Boltzmann測度的龐加萊不等式.對半直線上生滅過程，我們總結了4 種無窮邊界的生滅過程的平穩性和擬平穩分布的存在唯一性.給出了$Z^d$上具有Mobius單調性的Markov鏈強平穩性的判別準則。在有關非可逆Markov過程的研究上取得顯著的進展: 將Dirichlet原理推廣到非可逆的馬氏過程，得到了常返性刻畫；對連續時間單死過程，得到了平穩分布的一個新表示以及擊中時一階矩的顯式表示和一些數字特徵的機率意義，從而給出單死過程遍歷性和強遍歷性的判別準則，常返性和指數遍歷性的充分條件或必要條件, 以及滅絕機率的表示等。將上述研究方法套用於樹上生滅過程，得到擊中時高階矩的遞歸顯式表示，進而得到遍歷性和強遍歷性以及代數式遍歷性的顯式判別準則，指數遍歷的必要條件等等。將在時齊Markov過程中具有廣泛重要性的泛函不等式套用於對非時齊Markov過程，利用非時齊的Poincare不等式和非時齊的對數Sobolev不等式給出了依全變差範數下的遍歷性及其收斂速度估計。對於一類重要的無窮維Jackson網路，證明其隨機可比性，由此給出了隊長的極限行為，證明了非遍歷的Jackson網路中存在最大的遍歷的子網路。