補集(數學定義)

補集一般指絕對補集，即一般地，設S是一個集合，A是S的一個子集，由S中所有不屬於A的元素組成的集合，叫做子集A在S中的絕對補集。在集合論和數學的其他分支中，存在補集的兩種定義：相對補集和絕對補集。

基本介紹

• 中文名：補集
• 外文名：complementary set
• 別名：余集
• 表達式：∁UA
• 套用學科：數學
• 相關術語：並集 交集

定義

在集合論和數學的其他分支中，存在補集的兩種定義：相對補集和絕對補集。

相對補集（差集）示意圖

1、相對補集

若A和B 是集合，則A 在B 中的相對補集是這樣一個集合：其元素屬於B但不屬於A，B - A = { x| x∈B且x∉A}。

2、絕對補集

若給定全集U，有A⊆U，則A在U中的相對補集稱為A的絕對補集（或簡稱補集），寫作∁_UA。

注意：學習補集的概念，首先要理解全集的相對性，補集符號∁_UA有三層含義：

1、A是U的一個子集，即A⊆U；

2、∁_UA表示一個集合，且∁_UA⊆U；

3、∁_UA是由U中所有不屬於A的元素組成的集合，∁_UA與A沒有公共元素，U中的元素分布在這兩個集合中。

全集與補集

全集是一個相對的概念，只包含所研究問題中所涉及的所有元素，補集只相對於相應的全集而言。如：我們在整數範圍內研究問題，則Z為全集，而當問題拓展到實數集時，則R為全集，補集也只是相對於此而言。

相關運算

補律與差集

• 根據補集的定義，∁_uA={x|x∈U且x∉A}，B-A={x|x∈B且x∉A}
  
• A∩∁_UA=∅
  
• A∪∁_UA=U
  

De Morgan定律

摩根定律，又叫反演律，用文字語言可以簡單的敘述為：兩個集合的交集的補集等於它們各自補集的並集，兩個集合的並集的補集等於它們各自補集的交集。

若集合A、B是全集U的兩個子集，則以下關係恆成立：

（1）∁_U（A∩B）=（∁_UA）∪（∁_UB），即“交之補”等於“補之並”；

（2）∁_U（A∪B）=（∁_UA）∩（∁_UB），即“並之補”等於“補之交”。