法圖-杜布定理

經典的法圖定理斷言：R的球內的正調和函式在邊界上幾乎處處有非切向邊界值。

基本介紹

• 中文名：法圖-杜布定理
• 外文名：Fatou-Doob theorem
• 適用範圍：數理科學

簡介

法圖-杜布定理是關於細邊界值存在性的定理。

經典的法圖定理斷言：R的球內的正調和函式在邊界上幾乎處處有非切向邊界值。

杜布(Doob,J.L.)將它推廣為，關於格林區域D附加其馬丁邊界△所得的緊空間上的細拓撲，D內的上調和函式u>0和調和函式h>0的商u/h在△上除一個μ_h零測集外處處有細邊界值，其中μ_h是h在馬丁積分表示式中對應的測度。

特殊情況

作為特例，在李普希茨區域內的上調和函式u>0在∂D上除一個調和測度零集外處處有細邊界值。

細邊界值

細邊界值是函式在細拓撲意義下的邊界值。

一般地，若x從D趨於x₀(x₀∈∂D)時有f(x)→α，則稱α為f在x₀的邊界值；當此極限不存在時，限制x沿D的子集趨於x₀，則可能有極限。

當D∪∂D上有細拓撲時，若限制x在x₀的一個細鄰域趨於x₀時有f(x)→β，則稱f在x₀有細邊界值β。