複變函數(西安交通大學建設的慕課)

複變函數課程是西安交通大學建設的慕課、國家精品線上開放課程、國家級一流本科課程。該課程於2018年09月17日在中國大學MOOC首次開設。該課程授課教師為吳慧卓、張紅英、易媛、陳虎民、孫德龍、李科學、王宇瑩、梅占東、高靜。據2022年3月中國大學MOOC官網顯示，該課程已開課8次。

複變函數課程主要學習複數的三種表示、無窮遠點以及複變函數的極限與連續的概念與性質；掌握複變函數可導、可微及解析的概念；複變函數積分的基本概念與性質；複變函數冪級數展開；了解孤立奇點分類；雙線性映射以及幾個初等函式所定義的映射的性質等內容。

基本介紹

• 中文名：複變函數
• 類別：慕課、國家精品線上開放課程、國家級一流本科課程
• 建設院校：西安交通大學
• 授課平台：中國大學MOOC
• 首次開課時間：2018年09月17日
• 授課教師：吳慧卓、張紅英、易媛、陳虎民、孫德龍、李科學、王宇瑩、梅占東、高靜

課程性質

課程定位

複變函數課程是理工科相關專業的一門基礎課程。

課程背景

複變函數理論為分析的一個分支，它是由法國數學家柯西，德國數學家黎曼和維爾斯特拉斯從不同的角度和途徑建立起來的。複變函數在數學科學、自然科學、和工程科學中有著廣泛的套用，是解決諸如個、流體力學、電磁學、熱血和彈性理論中平面問題的工具。

適應專業

複變函數課程適用於數學科學、自然科學和工程科學等專業學習。

課程簡介

複變函數課程共六章內容，第一章，學習複數的三種表示、無窮遠點以及複變函數的極限與連續的概念與性質；第二章，掌握複變函數可導、可微及解析的概念，重點掌握柯西——黎曼方程和初等複變函數的表達；第三章，學習複變函數積分的基本概念與性質，重點掌握柯西——古薩定理、複合閉路定理、柯西積分公式、高階導數公式；第四章，掌握複變函數冪級數展開，尤其掌握複變函數洛朗級數的基本概念及展開；第五章，了解孤立奇點分類（包括無窮遠點），特別是利用留數計算曲線上複變函數的積分及用留數計算實變函式的積分問題；第六章，講授共形映射的概念及性質，特別是雙線性映射以及幾個初等函式所定義的映射的性質。

課程大綱

第一章 複數與複變函數 第一講 複數的概念及運算 第二講 複變函數及其極限與連續性 第三講 第一章複數與複變函數單元 第一章釋疑解難-1 第一章釋疑解難-2 第一章複數與複變函數單元測驗 第一章複數與複變函數作業互評題 第二章 解析函式 第一講 函式解析性的概念及判定 第二講 復變初等函式 第三講 第二章解析函式單元小結 第二章釋疑解難-1 第二章釋疑解難-2 第二章釋疑解難--3 第二章 解析函式單元測驗 第二章 解析函式作業互評題 第三章 複變函數的積分 第一講 複變函數積分的概念、性質及計算 第二講 柯西-古薩定理及其推廣 第三講 原函式與不定積分 第四講 柯西積分公式與高階導數公式 第五講 解析函式與調和函式的關係 第六講 第三章 複變函數的積分單元小結 第三章釋疑解難-1 第三章釋疑解難-2 第三章釋疑解難-3

第三章釋疑解難-4 第三章 複變函數的積分單元測驗 第三章 複變函數的積分作業互評題 第四章 複變函數項級數 第一講 複數項級數與複變函數項級數 第二講 冪級數 第三講 泰勒級數 第四講 洛朗級數 第五講 第四章複變函數項級數單元小結 第四章釋疑解難-1 第四章釋疑解難-2 第四章釋疑解難-3 第四章釋疑解難-4 第四章釋疑解難-5 第四章 複變函數項級數單元測驗 第四章 複變函數項級數作業互評題 第五章 留數及其套用 第一講 孤立奇點 第二講 留數定理 第三講 留數在計算實積分中的套用 第四講 第五章留數及其套用單元小結 第五章 留數及其套用單元測驗 第五章 留數及其套用作業互評題 第六章 共形映射 第一講 共形映射的概念 第二講 分式線性映射 第三講 由幾個初等函式構成的共形映射 第四講 第六章共性映射單元小結

（註：課程大綱排版從左到右列）

開課信息

開課次數	開課時間	授課教師	學時安排	參與人數
第1次開課	2018年09月17日~2018年11月30日	吳慧卓、張紅英、易媛 陳虎民、孫德龍、李科學 王宇瑩、梅占東、高靜	3-5小時每周	30659人
第2次開課	2019年02月18日~2019年06月09日	吳慧卓、張紅英、易媛 陳虎民、孫德龍、李科學 王宇瑩、梅占東	4-6小時每周	6042人
第3次開課	2019年09月10日~2019年12月31日	吳慧卓、張紅英、易媛 陳虎民、孫德龍 李科學、王宇瑩	3-5小時每周	17504人
第4次開課	2020年02月17日~2020年06月15日	吳慧卓	4小時每周	19114人
第5次開課	2020年09月01日~2020年12月29日			13158人
第6次開課	2021年03月01日~2021年06月20日			8382人
第7次開課	2021年09月13日~2022年01月09日			19635人
第8次開課	2022年02月21日~2022年07月31日			待定

（註：表格內容參考資料）

教學目標

通過複變函數課程的學習，使學習者掌握複變函數的基礎理論和方法，掌握解析函式、柯西定理與積分公式、留數、共形映射等內容，為有關後續課程的學習和進一步擴大數學知識面奠定必要的數學基礎。

教學要點

複變函數課程授課採用啟發式的教學方法、漸進式的教學手段，強調複變函數中的重要概念、理論和方法，注重講解非數學類專業學生所需要的複變函數基本知識，結合舉例。

學習預備

預備知識

學習複變函數課程需要預備高等數學等專業知識。

學習資料

書名	作者	出版社	出版時間
複變函數	王綿森	高等教育出版社	2021年
複變函數學習輔導與習題選解	王綿森	高等教育出版社	2004年

考核標準

複變函數課程的學習包含：觀看講課視頻及其他課程資源、完成每章單元測試題和單元作業互評題、參與課程討論、參加期末考試。考慮到部分院校不講第六章，所以在計算慕課總成績時，只涉及前五章內容。

複變函數課程學習成績由三部分構成：

1、單元測驗：每章學習結束後有一次單元測驗，題型為單項選擇題和判斷題，每次測試題10道，每題10分。每人每周有3次機會可以嘗試，有效成績為三次提交的最高分數。所有單元測驗分數占慕課總成績的50%。

2、期末考試：課程結束後，學生可以參加課程的最後考試，占慕課總成績的45%。

3、單元作業：占慕課總成績的5%。

作業互評與作業最終成績的關係：未參與作業互評的學生將給與所得總分數的50%，未完成作業互評的學生將給與所得總分數的80%，全部完成作業互評的將給與總成績的100%。

課程學習並考核完成，總評成績≥60分為合格，>85分為優秀。

所獲榮譽

2020年11月，複變函數課程被中華人民共和國教育部認定為首批“國家級一流本科課程”。

教師簡介

吳慧卓，西安交通大學數學與統計學院副教授，研究領域為最最佳化理論及套用。

張紅英，西安交通大學數學與統計學院教授，研究領域為不確定數據分析。

易媛，西安交通大學數學與統計學院教授，研究方向為現代解析數論及其套用。

陳虎民，西安交通大學數學與統計學院講師，西安交通大學數學學院碩士畢業，並留校任教。

孫德龍，西安交通大學數學與統計學院講師。

李科學，西安交通大學數學與統計學院副教授，研究方向：分數階方程、隨機微分方程、反常擴散在地震圖像處理中的套用研究、變分法套用研究、圖像處理中的最優輸運理論和套用研究等。

王宇瑩，西安交通大學數學與統計學院講師，研究方向為生物數學以及大型瞬態系統的數值算法理論研究。

梅占東，西安交通大學數學與統計學院副教授，研究方向：偏微分方程控制理論、智慧型控制、深度神經網路、地震資料處理。

高靜，西安交通大學數學與統計學院副教授，研究方向：醫學超音波傳播的數值計算、高振盪現象及其計算、積分方程的譜分析、漸近分析、譜方法。