《複變函數》是2015年1月科學出版社出版的圖書，作者是紀友清。
基本介紹
- 中文名：複變函數
- 作者：紀友清
- 出版時間：2015年1月
- 出版社：科學出版社
- ISBN：9787030431035
內容簡介,圖書目錄,
內容簡介
本書內容主要包括：複數的基本性質、解析函式、複函數的積分理論、級數展開、留數、保形映照、調和函式等基本內容。除此之外，對解析開拓、無窮乘積、解析函式的邊界行為做了較為初步的介紹。
圖書目錄
封面
複變函數
內容簡介
前言
第1章 複數
1.1 基本知識
1.1.1 複數的表示和運算法則
1.1.2 開集、閉集和緊集
1.1.3 平面集合的複數描述
1.1.4 平面上的連續曲線
1.1.5 區域
1.1.6 Wada Lake:平面上的怪異集合
1.2 輻角函式
1.2.1 輻角函式的多值性
1.2.2 輻角函式的定義:函式Argz0γ
1.3 輻角函式的單值區域
1.3.1 充分接近的曲線
1.3.2 曲線的同倫
1.3.3 Riemann的想法
1.4 無窮遠點與Riemann球面
1.4.1 Riemann球面
1.4.2 無窮遠點的鄰域和C*上的開集
習題
第2章 複變函數
2.1 複平面與增廣複平面上的連續函式
2.1.1 基本定義
2.1.2 複線性函式f(z)=αz
2.2 複變函數的導數
2.2.1 複變函數導數的定義
2.2.2 Cauchy-Riemann方程
2.2.3 導數的幾何意義
2.3 解析性質
2.3.1 曲線的切線
2.3.2 局部複線性化
2.3.3 保形性蘊涵解析性
2.4 幾類特殊的解析函式
2.4.1 多項式函式和有理函式
2.4.2 指數函式
2.4.3 對數函式
2.4.4 冪函式
2.5 複合函式的支點以及單值解析分支
2.5.1 支點
2.5.2 導數等於0
習題
第3章 複函數的積分
3.1 複函數的積分的定義
3.1.1 復變數實值函式的積分
3.1.2 複函數的曲線積分
3.1.3 復曲線積分和實積分的聯繫
3.1.4 兩個定義的比較
3.1.5 分段光滑曲線
3.1.6 一個常用的觀察
3.2 矩形區域上的Cauchy定理
3.2.1 一個不等式
3.2.2 解析函式在一點附近的復積分
3.2.3 矩形區域上的Cauchy定理
3.3 原函式
3.3.1 定義和基本性質
3.3.2 凸區域上的解析函式
3.4 單連通區域上的Cauchy定理
3.4.1 定理的證明
3.4.2 一般區域上的Cauchy積分定理
3.5 同調形式的Cauchy定理
3.5.1 簡單閉曲線上的Cauchy積分公式
3.5.2 一般形式的Cauchy積分定理
3.6 Cauchy定理的套用
3.6.1 解析函式的可微性
3.6.2 Cauchy不等式與Liouville定理
3.6.3 Morera定理
3.6.4 內閉一致收斂
習題
第4章 級數
4.1 複數項級數
4.1.1 基本定義
4.1.2 複數項級數的收斂判別準則
4.1.3 絕對收斂與複數項級數的Cauchy乘積
4.1.4 複函數項級數
4.1.5 解析函式項級數的極限
4.2 Taylor展式
4.2.1 冪級數
4.2.2 冪級數表示的唯一性
4.2.3 Taylor展式
4.2.4 解析函式的唯一性
4.3 Laurent展式
4.3.1 ∞處的解析函式
4.3.2 Riemann球面上只有一點不解析的函式
4.4 解析函式在孤立奇點附近的行為
4.4.1 孤立奇點的定義
4.4.2 可去奇點
4.4.3 極點
4.4.4 本性奇點
4.4.5 ∞作為孤立奇點
4.5 復積分理論的套用
4.5.1 fp和Lnf的單值解析分支
4.5.2 具有有限多個奇點的解析函式的積分
4.5.3 極點附近的留數計算
4.6 利用留數計算定積分
4.6.1 三角函式的積分
4.6.2 有理函式的實積分
4.6.3 形若I=∫∞-∞(x)eixdx的積分
4.6.4 積分區間內有實可去奇點的積分計算
4.7 亞純函式的零點和極點個數
4.7.1 Lnf 沿閉曲線的變化
4.7.2 分析解釋
4.7.3 幾何解釋
4.7.4 Rouché定理
習題
第5章 解析映射
5.1 單葉解析函式
5.1.1 解析函式的一個局部性質
5.1.2 單葉解析函式
5.1.3 開映射定理和極大模原理
5.1.4 單葉解析函式的逆函式
5.2 分式線性變換與C*上的解析自同構
5.2.1 分式線性變換對應的矩陣特殊線性群SL(2,C)
5.2.2 分式線形變換的定義域和值域
5.2.3 分式線性變換的保圓性
5.2.4 交比
5.2.5 分式線性變換τ:H→D
5.3 Schwarz引理
5.3.1 Schwarz引理
5.3.2 開圓盤的解析自同構群Aut(D)
5.3.3 複平面C的解析自同構群
5.3.4 增廣複平面C*的解析自同構群
5.4 Montel定理
5.4.1 基本定義
5.4.2 Montel定理的證明
5.5 Riemann保形映照原理的證明
5.5.1 定理的內容及唯一性的證明
5.5.2 存在性的證明
習題
第6章 調和函式
6.1 調和函式
6.1.1 調和函式的定義及基本性質
6.1.2 調和共軛函式
6.1.3 均值公式
6.1.4 Possion積分公式
6.2 Dirichlet問題的解
6.2.1 Harnack定理
6.2.2 次調和函式
6.2.3 Dirichlet問題的解
6.2.4 定義集合類B(f)
6.2.5 解存在的條件
6.2.6 Barrier的存在性
習題
第7章 解析開拓
7.1 Schwarz反射定理
7.1.1 對稱區域
7.1.2 H的解析自同構群
7.1.3 一般形式的Schwarz對稱原理
習題
第8章 無窮乘積
8.1 級數展開
8.1.1 部分積序列
8.1.2 無窮乘積與級數的關係
8.1.3 無窮乘積的絕對收斂
8.2 整函式的無窮乘積展開
8.2.1 整函式的零點個數
習題
第9章 保形映照在邊界點的行為
9.0.1 簡單邊界點
9.0.2 徑向極限
9.0.3 保形映照在邊界的連續延拓
習題
附錄A Cauchy核與Poisson核
A.1 Poisson積分的一些性質
A.1.1 進一步考察Poisson核
A.1.2 由Poisson積分定義的函式
A.2 Cauchy積分和Poisson積分的關係
A.2.1 Cauchy核和Poisson核的比較
參考文獻
索引
封底
