在任何一個規則球面地圖上，用 R記區域個 數 ，V記頂點個數 ，E記邊界個數 ，則 R+ V- E= 2，這就是歐拉定理 ，它於 1640年由 Descartes首先給出證明 ，後來 Euler(歐拉 )於 1752年又獨立地給出證明 ，我們稱其為歐拉定理 ，在國外也有人稱其 為 Descartes定理。
R+ V- E= 2就是歐拉公式。
基本介紹
定義,證明,用數學歸納法證明,柯西的證明,推理證明,分式,複變函數,平面幾何,拓撲學,物理學,
定義
這三個公式分別為其省略餘項的麥克勞林公式，其中麥克勞林公式為泰勒公式的一種特殊形式
在
的展開式中把x換成±ix.
所以
由此：
這個恆等式也叫做歐拉公式，它是數學裡最令人著迷的一個公式，它將數學裡最重要的幾個數字聯繫到了一起：兩個超越數：自然對數的底e，圓周率π；兩個單位：虛數單位i和自然數的單位1；以及被稱為人類偉大發現之一的0。數學家們評價它是“上帝創造的公式”。
證明
用數學歸納法證明
( 1)當 R= 2時 ，由說明 1,這兩個區域可想像為 以赤道為邊界的兩個半球面 ，赤道上有兩個“頂點” 將赤道分成兩條“邊界”，即 R= 2，V= 2，E= 2；於是 R+ V- E= 2,歐拉定理成立.。
( 2)設 R= m(m≥ 2)時歐拉定理成立 ，下面證明 R= m+ 1時歐拉定理也成立 。
由說明 2，我們在 R= m+ 1的地圖上任選一個 區域 X ,則 X 必有與它如此相鄰的區域 Y ，使得在 去掉 X 和 Y 之間的唯一一條邊界後 ，地圖上只有 m 個區域了；在去掉 X 和 Y 之間的邊界後 ，若原該邊界兩端 的頂點現在都還是 3條或 3條以上邊界的頂點 ，則 該頂點保留 ，同時其他的邊界數不變;若原該邊界一 端或兩端的頂點現在成為 2條邊界的頂點 ，則去掉 該頂點 ,該頂點兩邊的兩條邊界便成為一條邊界 。於 是 ,在去掉 X 和 Y之間的唯一一條邊界時只有三種 情況：
①減少一個區域和一條邊界；
②減少一個區 域、一個頂點和兩條邊界；
③減少一個區域、兩個頂 點和三條邊界；
即在去掉 X 和 Y 之間的邊界時 ,不 論何種情況都必定有“減少的區域數 + 減少的頂點數 = 減少的邊界數”我們將上述過程反過來 (即將 X 和 Y之間去掉的邊 界又照原樣畫上 ) ，就又成為 R= m+ 1的地圖了 ，在 這一過程中必然是“增加的區域數 + 增加的頂點數 = 增加的邊界數”。
因此 ，若 R= m (m≥2)時歐拉定理成立 ，則 R= m+ 1時歐拉定理也成立.。
由 ( 1)和 ( 2)可知 ,對於任何正整數 R≥2,歐拉 定理成立。 .
柯西的證明
第一個歐拉公式的嚴格證明，由20歲的柯西給出，大致如下：
從多面體去掉一面，通過把去掉的面的邊互相拉遠，把所有剩下的面變成點和曲線的平面網路。不失一般性，可以假設變形的邊繼續保持為直線段。正常的面不再是正常的多邊形即使開始的時候它們是正常的。但是，點，邊和面的個數保持不變，和給定多面體的一樣(移去的面對應網路的外部。)
重複一系列可以簡化網路卻不改變其歐拉數（也是歐拉示性數）
的額外變換。
- 若有一個多邊形面有3條邊以上，我們劃一個對角線。這增加一條邊和一個面。繼續增加邊直到所有面都是三角形。
- 除掉只有一條邊和外部相鄰的三角形。這把邊和面的個數各減一而保持頂點數不變。
- （逐個）除去所有和網路外部共享兩條邊的三角形。這會減少一個頂點、兩條邊和一個面。
重複使用第2步和第3步直到只剩一個三角形。對於一個三角形
（把外部數在內）
，
。所以
。
推理證明
構想這個多面體是先有一個面，然後將其他各面一個接一個地添裝上去的.因為一共有F個面，因此要添(F-1)個面.
考察第Ⅰ個面，設它是n邊形，有n個頂點，n條邊，這時E=V，即棱數等於頂點數.
添上第Ⅱ個面後，因為一條棱與原來的棱重合，而且有兩個頂點和第Ⅰ個面的兩個頂點重合，所以增加的棱數比增加的頂點數多1，因此，這時E=V+1.
以後每增添一個面，總是增加的棱數比增加的頂點數多1，例如
增添兩個面後，有關係E=V+2;
增添三個面後，有關係E=V+3;
……
增添(F-2)個面後，有關係E=V+ (F-2).
最後增添一個面後，就成為多面體，這時棱數和頂點數都沒有增加.因此，關係式仍為E=V+ (F-2).即
F+V=E+2.
這個公式叫做歐拉公式.它表明2這個數是簡單多面體表面在連續變形下不變的數。
分式
當r=0或1時式子的值為0，當r=2時值為1，當r=3時值為a+b+c。
複變函數
把復指數函式與三角函式聯繫起來的一個公式，
，e是自然對數的底，i是虛數單位。它將指數函式的定義域擴大到複數，建立了三角函式和指數函式的關係，它不僅出現在數學分析里，而且在複變函數論里也占有非常重要的地位，更被譽為“數學中的天橋”。
平面幾何
（1）式稱為歐拉公式。
為了證明（1）式，我們現將它改成
（2）式左邊是點I對於⊙O的冪：過圓內任一點P的弦被P分成兩個部分，這兩個部分的乘積是一個定值，稱為P關於⊙O的冪。事實上，如圖3.21，如果將OI延長交圓於E、F，那么
因此，設AI交⊙O於M，則
因此，只需證明
或寫成比例式
為了證明（5）式，應當尋找兩個相似的三角形。一個以長IA、r為邊；另一個以長2R、MI為邊。前一個不難找，圖3.21中的△IDA就是，D是內切圓與AC的切點。後一個也必須是直角三角形，所以一邊是直徑ML，另一個頂點也應當在圓上。△MBL就滿足要求。
容易證明
因此（5）式成立，從而（1）式成立。
因為
，所以由歐拉公式得出一個副產品，即
拓撲學
拓撲學又稱“連續幾何學”。
幾何學的一門分科。研究幾何圖形經過連續形變後仍能保持的性質。包括點集拓撲、代數拓撲、微分拓撲等分支。
