歐拉多項式問題

歐拉多項式問題是研究多項式可以連續取素數而引出的問題，由於該問題最先由萊昂哈德·歐拉發現並提出的，所以命名為歐拉多項式問題。由研究多項式可以連續取素數而引出的問題。1772年，瑞士數學家歐拉(Euler，L。)證明出，當p=2，3，5，11，17，41時，多項式x+x+p可以連續取p-1個素數值，這些素數值是在x=0，1，…，p-2時取得的。這一多項式x+x+p稱為歐拉多項式。為了檢驗歐拉的這一結果，通過一系列的計算終於證明該多項式的正確性。

基本介紹

• 中文名：歐拉多項式問題
• 外文名：Euler polynomial problem
• 提出者：萊昂哈德·歐拉
• 提出時間：十八世紀中葉
• 套用學科：數學、物理

作者簡介

萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler ，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士數學家、自然科學家。1707年4月15日出生於瑞士的巴塞爾，1783年9月18日於俄國聖彼得堡去世。歐拉出生於牧師家庭，自幼受父親的影響。13歲時入讀巴塞爾大學，15歲大學畢業，16歲獲得碩士學位。歐拉是18世紀數學界最傑出的人物之一，他不但為數學界作出貢獻，更把整個數學推至物理的領域。他是數學史上最多產的數學家，平均每年寫出八百多頁的論文，還寫了大量的力學、分析學、幾何學、變分法等的課本，《無窮小分析引論》、《微分學原理》、《積分學原理》等都成為數學界中的經典著作。歐拉對數學的研究如此之廣泛，因此在許多數學的分支中也可經常見到以他的名字命名的重要常數、公式和定理。

定理

可使用如下的定理：如果區間內的所有整數x，使f(x)=x+x+p均取素數，則對於一切整數x=0，1，…，p-2，f(x)都取素數值。人們曾提出：除了這6個p值外，是否還有別的素數p也具有上述性質?這一問題的研究曾一度陷入困境。直到1933年，美國數學家萊默(Lehmer，D。H。)獲得重大突破：若多項式x+x+p，當素數p>41時，對所有x=0，1，…，p-2給出素數值，則p必須比25×10+1還大。1934年有人證明，即使在大數範圍內，這樣的p最多有一個。到20世紀60年代末，人們經過深入研究得出結論：沒有這樣的素數p>41，使x+x+p對所有x=0，1，…，p-2取得素數值。

推論

歐拉多項式的另一種形式是x-x+p，它是多項式x+x+p中用x-1代換x得到的。由此可知，若且唯若p=2，3，5，11，17，41時，x-x+p可在x=1，2，…，p-1時連續取得素數值。

更一般的問題是，對於任意給定的自然數N，能否找到素數p，使得x=1，2，…，N時，f(x)=x-x+p連續取素數值?若這一問題能獲得肯定的回答，則可有助於多個數論難題(例如，孿生素數猜想、三生素數猜想等)的解決，但它到21世紀仍未獲解決。

相關

歐拉公式

在任何一個規則球面地圖上，用 R記區域個 數 ，V記頂點個數 ，E記邊界個數 ，則 R+ V- E= 2，這就是歐拉定理 ，它於 1640年由 Descartes首先給出證明 ，後來 Euler(歐拉 )於 1752年又獨立地給出證明 ，我們稱其為歐拉定理，在國外也有人稱其 為 Descartes定理。

R+ V- E= 2就是歐拉公式

用數學歸納法證明

( 1)當 R= 2時 ，由說明 1，這兩個區域可想像為 以赤道為邊界的兩個半球面 ，赤道上有兩個“頂點” 將赤道分成兩條“邊界”，即 R= 2，V= 2，E= 2；於是 R+ V- E= 2，歐拉定理成立。。

( 2)設 R= m(m≥ 2)時歐拉定理成立 ，下面證明 R= m+ 1時歐拉定理也成立 。

由說明 2，我們在 R= m+ 1的地圖上任選一個 區域 X ，則 X 必有與它如此相鄰的區域 Y ，使得在 去掉 X 和 Y 之間的僅有的一條邊界後 ，地圖上只有 m 個區域了；在去掉 X 和 Y 之間的邊界後 ，若原該邊界兩端 的頂點都還是 3條或 3條以上邊界的頂點 ，則 該頂點保留 ，同時其他的邊界數不變;若原該邊界一 端或兩端的頂點已經成為 2條邊界的頂點 ，則去掉 該頂點 ，該頂點兩邊的兩條邊界便成為一條邊界 。於 是 ，在去掉 X 和 Y之間的僅有的一條邊界時只有三種 情況：

①減少一個區域和一條邊界；

②減少一個區 域、一個頂點和兩條邊界；

③減少一個區域、兩個頂 點和三條邊界；

即在去掉 X 和 Y 之間的邊界時 ，不 論何種情況都必定有“減少的區域數 + 減少的頂點數 = 減少的邊界數”我們將上述過程反過來 (即將 X 和 Y之間去掉的邊 界又照原樣畫上 ) ，就又成為 R= m+ 1的地圖了 ，在 這一過程中必然是“增加的區域數 + 增加的頂點數 = 增加的邊界數”。

因此 ，若 R= m (m≥2)時歐拉定理成立 ，則 R= m+ 1時歐拉定理也成立。。

由 ( 1)和 ( 2)可知 ，對於任何正整數 R≥2，歐拉 定理成立。

柯西的證明

從多面體去掉一面，通過把去掉的面的邊互相拉遠，把所有剩下的面變成點和曲線的平面網路。不失一般性，可以假設變形的邊繼續保持為直線段。正常的面不再是正常的多邊形即使開始的時候它們是正常的。但是，點，邊和面的個數保持不變，和給定多面體的一樣(移去的面對應網路的外部。)

1. 若有一個多邊形面有3條邊以上，我們劃一個對角線。這增加一條邊和一個面。繼續增加邊直到所有面都是三角形。
2. 除掉只有一條邊和外部相鄰的三角形。這把邊和面的個數各減一而保持頂點數不變。
3. （逐個）除去所有和網路外部共享兩條邊的三角形。這會減少一個頂點、兩條邊和一個面。

推理證明

構想這個多面體是先有一個面，然後將其他各面一個接一個地添裝上去的。因為一共有F個面，因此要添(F-1)個面。

考察第Ⅰ個面，設它是n邊形，有n個頂點，n條邊，這時E=V，即棱數等於頂點數。

添上第Ⅱ個面後，因為一條棱與原來的棱重合，而且有兩個頂點和第Ⅰ個面的兩個頂點重合，所以增加的棱數比增加的頂點數多1，因此，這時E=V+1。

以後每增添一個面，總是增加的棱數比增加的頂點數多1，例如

增添兩個面後，有關係E=V+2;

增添三個面後，有關係E=V+3;

……

增添(F-2)個面後，有關係E=V+ (F-2)。

最後增添一個面後，就成為多面體，這時棱數和頂點數都沒有增加。因此，關係式仍為E=V+ (F-2)。即

F+V=E+2。

這個公式叫做歐拉公式。它表明2這個數是簡單多面體表面在連續變形下不變的數。