巴塞爾問題

巴塞爾問題是一個著名的數論問題，這個問題首先由皮耶特羅·門戈利在1644年提出，由萊昂哈德·歐拉在1735年解決。由於這個問題難倒了以前許多的數學家，歐拉一解出這個問題馬上就出名了，當時他二十八歲。歐拉把這個問題作了一番推廣，他的想法後來被黎曼在1859年的論文《論小於給定大數的素數個數》（On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude）中所採用，論文中定義了黎曼ζ函式，並證明了它的一些基本的性質。這個問題是以瑞士的第三大城市巴塞爾命名的，它是歐拉和伯努利家族的家鄉。

基本介紹

• 中文名：巴塞爾問題
• 外文名：Basel problem
• 領域：數學

簡介

巴塞爾問題是一個著名的數論問題，這個問題首先由皮耶特羅·門戈利在1644年提出，由萊昂哈德·歐拉在1735年解決。由於這個問題難倒了以前許多的數學家，歐拉一解出這個問題馬上就出名了，當時他二十八歲。歐拉把這個問題作了一番推廣，他的想法後來被黎曼在1859年的論文《論小於給定大數的素數個數》（On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude）中所採用，論文中定義了黎曼ζ函式，並證明了它的一些基本的性質。這個問題是以瑞士的第三大城市巴塞爾命名的，它是歐拉和伯努利家族的家鄉。

這個問題是精確計算所有平方數的倒數的和，也就是以下級數的和：

這個級數的和大約等於1.644934（OEIS中的數列A013661）。巴塞爾問題是尋找這個數的準確值，並證明它是正確的。歐拉發現準確值是 ，並在1735年公布。他的證明還不是十分嚴密，真正嚴密的證明在1741年給出。

歐拉對這個問題的研究

歐拉最初推導 的方法是聰明和新穎的。他把有限多項式的觀察推廣到無窮級數，並假設相同的性質對於無窮級數也是成立的。當然，歐拉的想法不是嚴密的，還需要進一步證明，但他計算了級數的部分和後發現，級數真的趨於 ，不多不少。這給了他足夠的自信心，把這個結果公諸於眾。

歐拉的方法是從正弦函式的泰勒級數展開式開始：

兩邊除以 ，得：

現在，的根出現在，其中我們假設可以把這個無窮級數表示為線性因子的乘積，就像把多項式因式分解一樣，

如果把這個乘積展開，並把所有的項收集在一起，我們可以看到，的二次項係數為：

但從原先的級數展開式中可以看出，的係數是。這兩個係數一定是相等的；因此，

等式兩邊乘以就可以得出所有平方數的倒數之和。

證畢。

黎曼ζ函式

黎曼ζ函式ζ(s)是數學中的一個很重要的函式，因為它與素數的分布密切相關。這個函式對於任何實數部分大於1的複數s都是有定義的，由以下公式定義：

取s= 2，我們可以看出ζ(2)等於所有平方數的倒數之和：

用以下的等式，可以證明這個級數收斂：

因此ζ(2)的上界小於2，因為這個級數只含有正數項，它一定是收斂的。可以證明，當s是正的偶數時，ζ(s)可以用伯努利數來表示。設，有以下公式：

傅立葉級數的證明

設有函式，其定義域為。這個函式的傅立葉級數是：

根據帕塞瓦爾恆等式，我們有：

因此

證畢。