複數運算法則有：加減法、乘除法。兩個複數的和依然是複數，它的實部是原來兩個複數實部的和，它的虛部是原來兩個虛部的和。複數的加法滿足交換律和結合律。此外，複數作為冪和對數的底數、指數、真數時，其運算規則可由歐拉公式e^iθ=cos θ+i sin θ（弧度制）推導而得。
基本介紹
- 中文名：複數運算法則
- 外文名：Complex algorithm
- 包括：四則運算、冪運算、對數運算
- 相關領域：數學，算數
- 特殊符號：i
加減法,加法法則,減法法則,乘除法,乘法法則,除法法則,對數運算法則,指數運算法則,
加減法
加法法則
複數的加法按照以下規定的法則進行：設z1=a+bi，z2=c+di是任意兩個複數，
則它們的和是 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
兩個複數的和依然是複數，它的實部是原來兩個複數實部的和，它的虛部是原來兩個虛部的和。
複數的加法滿足交換律和結合律，
即對任意複數z1，z2，z3，有： z1+z2=z2+z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)。
減法法則
複數的減法按照以下規定的法則進行：設z1=a+bi，z2=c+di是任意兩個複數，
則它們的差是 (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
兩個複數的差依然是複數，它的實部是原來兩個複數實部的差，它的虛部是原來兩個虛部的差。
乘除法
乘法法則
規定複數的乘法按照以下的法則進行：
設z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意兩個複數，那么它們的積(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i。
其實就是把兩個複數相乘，類似兩個多項式相乘，展開得: ac+adi+bci+bdi2，因為i2=-1，所以結果是(ac－bd)+(bc+ad)i 。兩個複數的積仍然是一個複數。
在極坐標下，複數可用模長r與幅角θ表示為(r,θ)。對於複數a+bi,r=√(a2+b2)，θ=arctan(b/a)。此時，複數相乘表現為幅角相加，模長相乘。
除法法則
複數除法定義：滿足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的複數x+yi(x,y∈R)叫複數a+bi除以複數c+di的商。
除法運算規則：
①設複數a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商為x+yi(x，y∈R)，
即(a+bi)÷(c+di)=x+yi
分母實數化
分母實數化∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i
∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi
由複數相等定義可知 cx-dy=a dx+cy=b
解這個方程組，得 x=(ac+bd)/(c2+d2) y=(bc-ad)/(c2+d2)
於是有:(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c2+d2) +((bc-ad)/(c2+d2))i
②利用共軛複數將分母實數化得（見右圖）：
點評：①是常規方法；②是利用國中我們學習的化簡無理分式時，都是採用的分母有理化思想方法，而複數c+di與複數c－di，相當於我們國中學習的 的對偶式，它們之積為1是有理數，而(c+di)·(c－di)=c2+d2是正實數.所以可以分母實數化。把這種方法叫做分母實數化法。
另外，由上述乘法法則可得另一計算方法，即幅角相減，模長相除。
對數運算法則
對於複數(r,θ)，有ln(r,θ)=ln r+iθ。
其他結論可由換底公式得到。
指數運算法則
由歐拉公式推得複數指數的ea+bi結果仍為複數，其幅角即為複數虛部b，其模長為ea。
對於復底數、實指數冪(r,θ)x，其結果為(rx,θ·x)。
對於復底數、復指數的冪，可用(a+bi)c+di=eln(a+bi)(c+di)來計算。
