茹利亞集測度

茹利亞集測度(measure of Julia set)是關於沒有內點的茹利亞集的測度問題。人們知道，茹利亞集非空。當茹利亞集有內點時，它必為整個平面。一個有趣的問題是：當茹利亞集沒有內點時，其測度是否為零?對於超越函式而言，這個問題的回答是否定的。

基本介紹

• 中文名：茹利亞集測度
• 外文名：measure of Julia set
• 領域：數學
• 性質：測度問題
• 對象：茹利亞集
• 證明人：麥克繆倫

概念

茹利亞集測度(measure of Julia set)是關於沒有內點的茹利亞集的測度問題。人們知道，茹利亞集非空。當茹利亞集有內點時，它必為整個平面。一個有趣的問題是：當茹利亞集沒有內點時，其測度是否為零?對於超越函式而言，這個問題的回答是否定的。麥克繆倫(McMullen，C.)於1987年證明了：f(z)=a cos z+b的茹利亞集的測度大於零。但對於有理函式，即使是二次多項式，這個問題的研究都是很困難的。

茹利亞集

茹利亞集是復動力學中的最基本概念。設f(z)為複平面C上的亞純函式。取U=C，C*=C\{0}，C'分別對應於f為超越整函式、亞純函式f以z=0為極點和皮卡例外值、其他的亞純函式。法圖集F(f)(或簡記為F)定義為：F(f)={z∈U|z是正規點}。茹利亞集J(f)(或簡記為J)定義為：J(f)=U\F(f)。

法圖集是開集，茹利亞集是非空完全集。對有理函式R(z)而言，法圖集和茹利亞集是完全不變集，即R(J)=J=R(J)，R(F)=F=R(F)。對超越亞純函式f，華歆厚和楊重駿證明了下述不變結果：

其中，PV(f)為f的皮卡例外值集。

測度

數學上，測度（Measure）是一個函式，它對一個給定集合的某些子集指定一個數，這個數可以比作大小、體積、機率等等。傳統的積分是在區間上進行的，後來人們希望把積分推廣到任意的集合上，就發展出測度的概念，它在數學分析和機率論有重要的地位。

測度論是實分析的一個分支，研究對象有σ代數、測度、可測函式和積分，其重要性在機率論和統計學中都有所體現。

定義1：構造一個集函式，它能賦予實數集簇М中的每一個集合E一個非負擴充實數mE。我們將此集函式稱為E的測度。

定義2：設Γ是集合X上一σ代數，ρ ：Γ →R∪{ +∽ }是一集合函式，且ρ滿足：

（1）（非負性）對任意的A∈Γ，有ρ(A)≧0;

（2）（規範性）ρ(Φ) = 0；

（3）（完全可加性） 對任意的一列兩兩不交集合A1，A2，……，An，……有ρ(∪n An)=∑n ρ（An）

則稱ρ是定義在X上的一個測度，Γ中的集合是可測集，不在Γ中的集合是不可測集。特別的，若ρ(X) = 1 ，則稱ρ為機率測度。

超越函式

超越函式(Transcendental Functions)，指的是變數之間的關係不能用有限次加、減、乘、除、乘方、開方運算表示的函式。

歐拉把約翰·貝努利給出的函式定義稱為解析函式，並進一步把它區分為代數函式（只有自變數間的代數運算）和超越函式（三角函式、對數函式以及變數的無理數冪所表示的函式），還考慮了“隨意函式”（表示任意畫出曲線的函式）。

如三角函式、對數函式，反三角函式，指數函式，等就屬於超越函式。如y=arcsinx，y=cosx，它們屬於初等函式中的初等超越函式。

超越函式是指那些不滿足任何以多項式作係數的多項式方程的函式。說的更技術一些，單變數函式若為代數獨立於其變數的話，即稱此函式為超越函式。例如，對數函式和指數函式即為超越函式。 超越函式這個名詞通常被拿來描述三角函式，例如正弦、餘弦、正割、餘割、正切、餘切、正矢、半正矢等。

函式的不定積分運算是超越函式的豐富來源，如對數函式便來自代數函式的不定積分。在微分代數里，人們研究不定積分如何產生與某類“標準”函式代數獨立的函式，例如將三角函式與多項式的合成取不定積分。

在數學領域中，超越函式與代數函式相反，是指那些不滿足任何以多項式作係數的方程的函式，即函式不滿足以變數自身的多項式為係數的多項式方程。換句話說，超越函式就是"超出"代數函式範圍的函式，也就是說函式不能表示為有限次的加、減、乘、除、乘方和開方的運算。

嚴格的說，關於變數z的解析函式f(z) 是超越函式，那么該函式是關於變數z是代數獨立的。

非超越函式則稱為代數函式，代數函式的例子有多項式和平方根函式。

對代數函式進行不定積分運算能夠產生超越函式，如對數函式便是在對雙曲角圍成的面積研究中， 對倒數函式y= k/x不定積分得到的， 以此方式得到的雙曲函式sinhx、 coshx、tanhx都是超越函式。

微分代數的某些研究人員研究不定積分如何產生與某類“標準”函式代數獨立的函式，例如將三角函式與多項式的合成取不定積分。