線性映射矩陣

線性映射矩陣

線性映射矩陣(matrix of a linear mapping)是一種特殊矩陣,指線性映射的數量表示。設σ是數域P上n維線性空間V到P上m維線性空間W的一個線性映射,v1,v2,…,vn是V的基,w1,w2,…,wm是W的基。若(σ(v1),σ(v2),…,σ(vn))=(w1,w2,…,wm)(aij)m×n,則矩陣(aij)稱為σ關於基偶(v1,v2,…,vn),(w1,w2,…,wm)的矩陣。設V的基變換為(v1′,v2′,…,vn′)=(v1,v2,…,vn)R,W的基變換為(w1′,w2′,…,wm′)=(w1,w2,…,wm)Q,則線性映射σ關於基偶(v1′,v2′,…,vn′),(w1′,w2′,…,wm′)的矩陣(aij′)與(aij)是等價的,即(aij′)=Q(aij)R.若W=V,則線性變換σ對基v1,v2,…,vn的矩陣(aij)與對基v1′,v2′,…,vn′的矩陣(aij′)是相似的,即(aij′)=R(aij)R,其中(v1′,v2′,…,vn′)=(v1,v2,…,vn)R。

基本介紹

  • 中文名:線性映射矩陣
  • 外文名:matrix of a linear mapping
  • 所屬學科:數學
  • 所屬問題:高等代數(線性變換)
  • 簡介:指線性映射的數量表示
基本介紹,相關定理,

基本介紹

是V1的一組基,
是V2的一組基。
的一個線性映射,則
或寫成
把它代入式(1)得
矩陣A稱為線性映射σ在基(
)與(
)下的矩陣表示
有了線性映射(在一對基下)的矩陣表示現在可以解決V1中向量α與它在V2中的像之間的坐標關係。
設α∈V,故
它的像σ(α)∈V2,可寫成
根據σ(α)坐標唯一性,得
寫成矩陣形式
式(4)稱為線性映射在給定基(
)與(
)下向量坐標變換公式(原像與像的坐標關係)。

相關定理

線性映射σ在給定基下的矩陣表示A是唯一的,它的逆問題就是下述定理。
定理1 設V1的基為
,V2的基為
,已給m×n矩陣
,則存在唯一的線性映射σ,它在這兩個基下的矩陣表示為A。
在指定了空間V1和V2的基之後,便可以求得線性映射
在指定一對基下的矩陣表示。但是空間基是不唯一的,線性映射在不同對基下的矩陣表示之間有如下關係。
定理2 設σ是
的一個線性映射,
是V1的兩組基,其過渡矩陣為
是V2的兩組基,其過渡矩陣為Q。線性映射σ在基
下的矩陣表示為A,在基
下的矩陣表示為B,則

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