《組合序列研究中的分析方法》是依託南開大學，由陳永川擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：組合序列研究中的分析方法
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：陳永川
- 依託單位：南開大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
分析理論及方法在當前組合學的研究中發揮著越來越重要的作用。本項目將組合數學與分析相結合，研究一些組合序列的分析性質和組合性質，主要包括：.1.超幾何多項式的實根問題。我們將重點研究3F2超幾何多項式的實根性質及漸近分析，利用數學機械化的方法尋找這些多項式的遞推關係，採用經典分析的方法研究其根的性質。.2.與排列相關的組合序列研究。我們將研究drop數不超過給定值的排列的下降多項式的實根性質，B型排列的錯排和對合的計數多項式，廣義歐拉-類數的計算。我們將結合組合模型和分析工具對這些問題進行研究。.3.與整數分拆相關的組合序列研究。我們將研究帶條件分拆的算術性質和關於t-core公式的猜想。考慮組合方法與模形式的結合是我們的主要研究方法。
結題摘要
按照項目計畫，我們對超幾何多項式的實根問題、與排列相關的組合序列、與整數分拆相關的組合序列等進行了研究，取得多項重要成果，共發表論文25篇，發表期刊包括《Adv. Appl. Math.》、《Int. Math. Res. Not.》、《Math. Z.》、《European J. Combin.》、《Math. Comp.》等本專業權威刊物。項目執行期間，還培養了多名研究生，並組織了一次國際會議、一次國內會議。在利用分析方法解決單峰型問題方面：Boros-Moll多項式的無窮對數凹性近些年來引起組合學家的關注，我們利用構造中間函式的方法證明了Boros-Moll序列滿足2階對數凹性，通過證明Boros-Moll多項式的兩組變形多項式的實根性進而證明了Boros-Moll多項式具有3階對數凹性，之前歐洲科學院院士P. Paule教授曾認為“we have little hope that a proof of 2-log-concavity could be completed along these lines”。在與排列相關的組合序列方面，徹底解決了Dirichlet 序列Lm(s)的計算問題，並回答了D. Shanks 於1975年提出的關於尋找歐拉類數的組合解釋的問題，相關結果發表於《Math. Comp.》；推廣了Foata和Han在排列群中用A-codes和B-codes來表示排列的思想和方法，給出了 Petersen在其論文中需要的組合雙射，並將其擴展到B型和D型的有限Coxeter群上，得到了新的多變數統計量的等分布性質，相關結果發表於《Adv. Appl. Math.》。在與整數分拆相關的組合序列方面，我們在部分數互不相同且最小部分為奇數的分拆所組成的集合上，構造了一個Franklin類型的對合，進而給出了Alladi關於Ramanujan部分theta等式和Andrews等式的兩個賦權分拆等式的組合證明，相關結果發表於《Adv. Appl. Math.》；仿theta函式廣受數論學家的關注，我們利用組合構造的方法得到了兩個三仿theta函式的分拆恆等式，進而導出了Ramanujan兩個著名的的分拆恆等式，從而給出了這兩個恆等式的組合證明，揭示了其本質。
