多元時間序列分析(multivariate time series analysis)是指對多變數時間序列的研究。實際中，許多問題不僅是觀察單個過程xt，而且是同時觀察多個過程x1t，x2t，…，xrt，或者說xt為向量時，需要分析多變數時間序列xt=(x1t，x2t，…，xrt)例如，在工程上要研究電流與電壓同時隨時間變化的情況；在化學變化中要分析壓力、溫度和體積的變化關係；在氣象預報分析時需要同時考慮該地區的雨量、氣溫和氣壓等記錄資料。不僅要把他們各分量看做單變數過程來研究，而且要研究各分量之間的關係及變化規律，從而對時間序列做出預報和控制，這就是多元時間序列分析，其最典型的模型就是多元ARMA模型。
基本介紹
- 中文名：多元時間序列分析
- 外文名：multivariate time series analysis
- 屬性：指對多變數時間序列的研究
- 所屬學科：數學
- 相關概念：協整，EG兩步法，Johansen等
- 相關人物：恩格爾，格蘭傑等
基本介紹,重要概念,動態回歸模型,協整,EG檢驗,
基本介紹
實際中很多序列的變化規律都會受到其他序列的影響，比如在研究居民的人均消費序列時，由於消費會受收入的影響，如果能把收入也納入研究範圍，就能得到更精確的消費模型，這就涉及多元時間序列分析。1976年，Cox和Jenkins就採用天然氣的輸入速率作為輸入變數，研究二氧化碳的輸出濃度．這就將時間序列分析由一元推廣到了多元的場合。但從技術上講，當時要求輸入序列和輸出序列都是平穩的，顯然這是非常苛刻的，進而限制了多元時間序列分析的套用。1987年Engle和Cranger提出了協整理論，在此理論下，並不要求回響序列和輸入序列都平穩，只要求它們的回歸殘差序列平穩，這極大地促進了多元時間序列的發展，它實際上是將多元回歸分析和時間序列分析有機地結合在一起，有效地提高了預測精度。
重要概念
動態回歸模型
1976年Cox和Jenkins採用帶輸入變數的ARIMA模型，為平穩多元序列建模，該模型的構造思想是：假設回響序列
和輸人變數序列(即自變數序列)
均平穩，首先構建回響序列和輸入變數序列的回歸模型：
值得注意的是：回歸模型不僅僅是
關於
的回歸，也可以是關於的延遲變數的回歸。
因為{}和均平穩，而且平穩序列的線性組合仍然是平穩的，所以殘差序列為平穩序列：
在ARIMAX模型中，如果平穩性條件不滿足，就容易產生虛假回歸的問題。我們考慮一元線性回歸模型
，為了檢驗模型的顯著性，就需要對擬合模型進行檢驗：
假定回響序列和輸入變數序列相互獨立，理論上，檢驗結果應該接受原假設
，如檢驗結果為拒絕，那么我們就接受了一個本不應該成立的回歸模型，從而犯了第一類錯誤(棄真錯誤)。由於樣本的隨機性，故棄真錯誤會一直存在，我們可採用顯著性水平
控制棄真錯誤的機率
。
通常情況下，我們採用t統計量進行參數顯著性檢驗：
。當{}和{
}都平穩時，該統計量服從自由度為樣本容量的t分布，從而有
P(
平穩序列)≤.
即當時，棄真錯誤精確控制在內。
當{}和{}不平穩時，隨機模擬的結果顯示，檢驗統計量不服從t分布，這時t統計量的樣本方差遠遠大於t分布的方差，如果仍採用t分布的臨界值進行檢驗，拒絕原假設的機率就會大大增加，這樣導致我們無法控制棄真錯誤，容易接受本不該成立的回歸模型，這種現象稱為虛假回歸。
協整
在現實生活中我們會發現，有些序列自身的變化雖然是非平穩的，但是序列與序列之間卻具有非常密切地長期均衡關係，為了有效地衡量序列之間是否具有長期均衡關係，Engle和Granger 於1987 年提出了協整概念。
關於協整的含義，我們可以藉助一個通俗的例子來加以解釋。假設一男一女在舞廳里跳交誼舞，如果記錄下男士和女士的活動軌跡，就得到了兩條沒有明顯線性趨勢的軌跡。雖然這兩條軌跡都是非穩定的，但是卻有一個關係是始終存在的：這兩條軌跡始終受到某種規律的限制與聯結(如遵照的舞曲)而保持同步。這種二者之間一起變化的關係可看作協整關係。聯繫到兩個時間序列，儘管兩個序列都是非平穩的，但它們的某種線性組合卻可能是平穩的。例如消費
和國民收人都是單位根過程，但變數
卻是平穩的。在這種情況下，我們稱和是協整的，稱
為協整參數。
“協整”概念與經濟學的“均衡”概念有本質上的聯繫。協整揭示了變數之間的一種長期穩定的均衡關係，是均衡關係在統計上的表述，因此在實證檢驗中用來判斷變數間存在均衡關係的證據。比如，兩個變數，雖然它們具有各自的長期波動規律，但如果它們是協整的，則它們之間存在著一個長期穩定的比例關係；反之，如果兩個變數具有各自的長期波動規律，但它們不是協整的，則它們之間就不存在著一個長期穩定的比例關係。從圖形上直觀地講，圖1顯示1966年至1993年間中國實際國民收入GNP的對數序列和實際消費C的對數序列的變化情況，兩者很可能存在協整關係，而圖2顯示的兩序列則隨時間變化相距越來越遠，不可能存在均衡關係。
圖1 GDP與消費的關係
圖2結合單整概念，可得到關於協整的正式定義：如果序列
都是d階單整，存在一個向量
，使得
，其中b>0，
，則認為序列是(d，b)階協整，記為
為協整向量。例如：國民收入時間序列為1階單整序列，居民消費時間序列也為1階單整序列，如果二者的線性組合
構成的新序列為0階單整序列，於是認為序列與是(1，1)階協整。可見，如果兩個變數都是單整變數，只有當它們的單整階數相同時，才可能協整。
EG檢驗
多元非平穩序列之間能否建立動態回歸模型，關鍵在於它們之間是否具有協整關係，因此要對多元非平穩序列建模，必須先進行協整檢驗，也稱Engle-Granger，簡稱EG檢驗。由於自然界中絕大多數序列之間不具有協整關係，所以EG檢驗的假設條件如下確定：
由於協整關係主要是通過考察回歸殘差的平穩性確定，所以上述假設條件等價於：
EG檢驗也稱為EG兩步法，它遵循如下兩個步驟：
步驟一：建立回響序列與輸入序列之間的回歸模型：
步驟二：對回歸殘差序列進行平穩性檢驗。
我們主要是採用單位根檢驗的方法來考察回歸殘差序列的平穩性，EG檢驗原理與計算公式的DF檢驗原理及計算公式相同，但是蒙特卡洛模擬的結果顯示，它們的臨界值略有不同，EG檢驗的臨界值不僅與位移項、趨勢項等因素有關，而且還與同歸模型中非平穩變數的個數相關，Mackinnon提供了EG檢驗的臨界值表，並將EG檢驗的臨界值表與ADF檢驗的臨界值表結合在一起。當非平穩序列的個數大於等於2時，對應的就是EG檢驗。
