組合序列和圖多項式的單峰型問題研究

《組合序列和圖多項式的單峰型問題研究》是依託江蘇師範大學，由祝寶宣擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：組合序列和圖多項式的單峰型問題研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：祝寶宣
• 依託單位：江蘇師範大學

項目摘要

單峰型問題是組合數學中最基本的問題之一，它的研究包含序列的單峰性、對數凹性、對數凸性及PF性質等。單峰型性質不但在數學諸多分支有著重要的理論價值，而且在計算機科學、生物學和經濟學等學科中也有著套用背景。雖然已經發展了多種艱深的工具和精細的技巧來研究單峰型問題,並且取得了豐富的研究成果，但是關於組合序列的對數凸性的研究方法和結果還比較少，另外在圖論中許多關於圖多項式的單峰型問題仍未解決。.為了進一步研究單峰型問題，根據前期的研究經驗，本項目擬藉助實解析理論、複分析理論、對稱函式理論、TP理論、多項式理論和矩陣理論等，並借鑑組合數學裡豐富的技巧和結果，來研究組合序列的對數凸性及一些圖多項式的單峰型問題，探索一些僅有實零點的圖多項式結果。爭取給出對數凸性的一些判斷方法，解決或部分解決圖多項式中的一些單峰型問題。

結題摘要

單峰型問題是組合數學中最基本的問題之一，它的研究包含序列的單峰性、對數凹性、對數凸性及PF性質和它們的q模擬等。其經常出現於組合、分析、代數、幾何、機率、統計等數學分支。 在該項目中，課題組對組合序列及圖的獨立多項式的單峰型問題做了系統研究，而且取得了重要的進展。我們基於組合三角給出了對數凹凸性、強q對數凸性、及PF性等的一些新標準，不但能夠統一地處理一些組合序列的對數凹凸性、強q-對數凸性及PF性，而且還可以給出一些困難的猜想和結果的簡單證明。我們證明了一些線性變換保持對數凸性及強q對數凸性。我們套用對數凹凸性解決了孫智偉教授的一系列單調性猜想。我們發展了運算元方法來研究圖的多項式的單峰型問題。特別地，提出了團覆蓋積的概念，給出了團覆蓋積的獨立多項式的單峰性、對數凹性、實零點、對稱性等的判斷標準。這些標準不但可以給出了關於獨立多項式單峰性、對數凹性、對稱性、實零點性等性質的一些已知結果的推廣及簡單證明，而且還可以解決獨立多項式的一些公開猜想及問題。 我們的研究成果豐富了組合數學中單峰型問題的研究內容，及促進了其進一步發展。