組合多項式的對數凹性

《組合多項式的對數凹性》是依託天津理工大學，由顧春燕擔任項目負責人的數學天元基金項目。

基本介紹

• 中文名：組合多項式的對數凹性
• 項目類別：數學天元基金項目
• 項目負責人：顧春燕
• 依託單位：天津理工大學

項目摘要

對組合序列（或多項式）分布性質的研究是組合數學中最原始最基本的問題之一。其中一類重要的分布性質是序列的單峰型性質，具體包括單峰性、對數凹性、對數凸性、實根性等。組合序列的單峰型問題是近年來組合數學研究的熱點之一，是組合學界一個非常活躍的研究領域。其中多項式的單峰性，對數凹性以及實根性等性質已被廣泛的研究。. 在本項目中，我們主要開展對多項式對數凹性質的研究。我們將圍繞一些經典的組合多項式，研究它們的對數凹性質的組合證明，高階對數凹性以及相關問題。本項目的研究成果將有助於促進單峰型問題的發展，為單峰型性質在其他領域的套用提供更多的理論支持。

結題摘要

組合序列分布性質的研究是組合數學中最古老和最基本的問題之一，是近年來國際組合學界一個非常活躍的研究領域，包括單峰性、對數凹性、實根性等。對單峰形問題的研究始於19世紀大數學家Sylvester運用不變數理論證明了Gauss多項式的係數構成了一個單峰序列。1989年，國際組合學界領袖之一的Stanley院士給出了單峰形問題的第一篇綜述，並提出一系列猜想，由此單峰形問題的研究成為熱點問題之一。在本項目中，本項目主要用組合的方法來證明錯排多項式的對數凹性。具體來說，項目組構造了一個雙射，將錯排多項式與滿足一定限制條件的帶標號的格路一一對應起來，然後利用各路段幾何性質構造了一個合適的單射。利用這種結構，項目組還得到了關於錯排多項式和歐拉多項式的交錯對數凹性質的一個漂亮而簡潔的證明。