多項式的對數凹性和組合拓撲性質

《多項式的對數凹性和組合拓撲性質》是依託南開大學，由王星煒擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：多項式的對數凹性和組合拓撲性質
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：王星煒
• 依託單位：南開大學

中文摘要

多項式是數學中研究最多的問題之一，經過了幾個世紀的研究，在物理，計算機，生物等方向都有不少的套用。最近半個世紀，伴隨著組合數學的發展，多項式的組合性質，尤其是整係數多項式的組合性質得到了很多的挖掘。本項目將著重圍繞各種經典多項式，研究它們的組合性質，尤其是多項式的對數凹性質和組合拓撲性質。.多項式的對數凹性質在組合數學，代數幾何，數學分析中有很多的套用，現在是組合數學研究的一個熱門方向。本項目打算研究對數凹性質與各種分析性質或者拓撲性質之間的關係，得到一些關於多項式新的組合性質，進一步可以研究一系列多項式之間的與對數凹有關的性質，考察對數凹性質和組合拓撲性質之間的聯繫。本項目在現代組合數學的框架之內，抓住組合多項式這一核心，將組合數學與數學分析、組合拓撲相互聯繫展開交叉性研究。

結題摘要

我們重圍繞各種經典多項式，研究它們的組合性質，尤其是多項式的對數凹性質，以及他們和經典特殊函式的分析性質之間的關係。多項式的對數凹性質在組合數學，代數幾何，數學分析中有很多的套用，現在是組合數學研究的一個熱門方向。項目負責人和合作者研究了一系列組合多項式係數之間的對數關係，發現了在組合多項式中，存在一種強於一般的對數凹（log-concave）的性質，並把這種性質命名為交錯對數凹性質（interlacing log-concavity）。我們證明了Boros-Moll多項式序列具有這種性質。進而，我們找到了一個關於這個性質的一個一般化的判別條件，利用這個結果，我們證明了許多與組合數學相關的多項式都具有這個性質。我們把組合序列的對數凹凸性和一些特殊函式如Gamma函式和Riemann zeta函式的分析性質如對數完全單調性等聯繫起來，得到了一系列結果，包括Bernoulli數，Bell數以及Lasalle數的對數凸性質，證明了Amdeberhan, Moll和Vignat關於Lasalle數的兩個猜想和孫智偉關於Bernoulli數和Bell數的猜想。在此基礎上，我們在離散序列中定義了高階對數單調（log-monotonic of order k）和無窮對數單調的概念（infinitely log-monotonic），並證明了Bernoulli數，Catalan數和central binomial係數都具有無窮對數單調的性。我們還定義了比率對數凹（ratio log-concave）的性質，並證明了Motzkin數，derangement數，Fine數，central Delannoy數，樹形polyhex數和Domb數是比例對數凹的。進一步，我們證明了比例對數凹可以推出其他其他組合性質。在組合多項式的實根性的研究方向上，對於滿足某種三角遞推關係的組合序列，我們給出一個統一的上下文無關文法。以此文法為基礎，定義了一個線性運算元，並在Brandon的論文結果的基礎上進行了研究，給出了這個運算元保持多項式穩定性充分必要條件。