《一類非負遞增係數多項式的對數凹性質》是依託吉林大學，由竇全傑擔任項目負責人的數學天元基金項目。
基本介紹
- 中文名：一類非負遞增係數多項式的對數凹性質
- 項目類別：數學天元基金項目
- 項目負責人：竇全傑
- 依託單位：吉林大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
具有對數凹性的序列經常出現在組合數學、代數、幾何、計算機科學及機率論與數理統計中，對數凹性的研究對了解組合序列的分布不無益處，它是獲得不等式的豐富源泉。近年來，對數凹性問題已成為組合界研究的熱點問題之一，該問題的研究對組合學的發展有深遠影響。. 本課題首先針對由非負遞增係數多項式變換得到的一類多項式的多重對數凹性展開系統深入的研究，證明了此類多項式具有二重對數凹性。做為直接推論，證明了Boros-Moll序列具有二重對數凹性。另一方面，我們還考慮了Boros-Moll序列的無窮對數凹性，通過證明Branden的一個猜想，給出了Boros-Moll序列具有二重對數凹性的另一種證明，此外還證明了該序列也具有三重對數凹性。. 本課題有著廣泛的組合學套用背景，為近年來備受關注的前沿課題，已吸引了越來越多的著名專家和學者，也必將引起更大的研究熱潮。
結題摘要
多項式或序列的對數凹性是組合數學的一個重要研究課題，在組合、代數、幾何、分析、機率論與數理統計等數學分支中出現的很多有意義的多項式和序列都具有對數凹性。多重對數凹性和無窮對數凹性的概念由Boros和Moll教授在2004年研究Boros-Moll多項式（記為Pn(x)）時引入。本項目圍繞一類係數是非負遞增的多項式的多重對數凹性問題展開研究，著重研究了Boros-Moll多項式序列的對數凹性和多重對數凹性問題。本項目主要進展如下：第一，項目組成員給出了一種賦權的染色排列結構，利用此結構給出了Boros-Moll多項式係數序列滿足的遞歸關係的組合證明， 並由此給出Boros-Moll多項式序列的對數凹性的組合解釋。第二，通過證明由Boros-Moll多項式變形得到的兩個多項式序列的實根性，項目組證明了Boros-Moll多項式具有二重對數凹性和三重對數凹性。這是迄今關於Boros-Moll多項式無窮對數凹性猜想的最好結果。進一步地，項目組還針對係數非負遞增的這一類多項式P(x), 研究了由它變換得到的多項式P(x+1)的二重對數凹性質，目前這方面的工作還在進行中。
