《格路徑的均勻劃分及相關計數的研究》是依託中國海洋大學，由曲曉英擔任項目負責人的數學天元基金項目。
基本介紹
- 中文名：格路徑的均勻劃分及相關計數的研究
- 項目類別：數學天元基金項目
- 項目負責人：曲曉英
- 依託單位：中國海洋大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
著名的Chung-Feller定理是格路徑均勻劃分領域的一個經典結果,是MacMahon1909年發現的,命名是源於Chung與Feller1949年的工作。之後這個定理受到如Narayana、Woan、Shapiro、葉永南教授、陳永川教授等很多學者的廣泛關注。在一些重要的統計學文獻中也都有花篇幅詳細介紹這個定理。迄今已有代數、組合、一一對應等多種不同的證明方法，人們也嘗試對這個定理進行各種推廣,成果紛繁多樣。.此項目先考慮自由m-Schr?der路的性質,通過深入研究循環引理、Spitzer引理等對分析均勻劃分現象強有力的工具，尋找合適的刻畫自由m-Schr?der路均勻劃分的方法，並在不同均勻劃分現象之間尋找雙射，刻畫其內在的聯繫，力求統一併拓展已有的幾類經典格路徑上的結果，在紛繁中找一種系統性。此外，考慮均勻劃分現象產生的充分、必要、充要等條件，進行系統分析，力求得到更深入的結果。
結題摘要
Chung-Feller定理是計數組合學領域的一個經典結果，它描述了自由Dyck路在特定統計指標下滿足均勻劃分的性質。此定理由著名數學家MacMahon於1909年發現，而命名源於Chung與Feller 的工作，他們1949年從機率角度觀察到了該定理。此後不同的證明方法被陸續發現，包括組合的、代數的等等。迄今為止不同類型的細化與推廣也已被廣泛研究。 在本項目中，我們一是找到了合適的統計指標建立了自由m-Schröder路上賦權均勻劃分的性質，這使得以往參考文獻中許多看似不同的結論都成為我們結果的推論。二是給出了固定斜步的m-Schröder路計數的組合證明。最後，我們在綜合考慮格路、置換、樹這三類經典組合結構之間的聯繫與對應的基礎上，給出了組合結構partially 2-colored permutation，利用它得到了Boros-Moll 多項式係數對數凹性的組合證明。
