《組合數學中的代數方法》是依託南開大學，由陳永川擔任項目負責人的重點項目。
基本介紹
- 中文名：組合數學中的代數方法
- 項目類別：重點項目
- 項目負責人：陳永川
- 依託單位：南開大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
近年來，組合數學作為一個新興數學分支發展十分迅速，而代數方法在現代組合數學理論的發展中則扮演著非常重要的角色並引起組合數學界的高度重視。在已經結束的上一期組合數學重點項目中我們主要研究構造性問題，這是現代組合數學的基礎。在此基礎上，本項目主要研究具體構造中的代數方法，內容包括對稱函式理論、整數分拆理論、極值理論、代數圖論、化學圖論和組合矩陣論等，探索相關代數理論的套用。具體的，將研究對稱函式複合運算的組合解釋、Schur函式特殊化的正性問題、Jack函式的Kerov多項式、某些分拆函式的算術性質、集合族及有限群中交族的規模與結構、賦權圖的極值能量、大能量圖、定向單圈圖和二分圖的斜能量、組合矩陣的分解等。我們的目標是在相關領域發展有特色的代數方法，在幾個方向上取得有重要影響的進展。
結題摘要
按照研究計畫，我們在分拆和模形式理論、對稱函式理論、單峰型理論、極值理論、代數圖論等領域開展研究，取得多項重要成果，共發表論文65篇，發表期刊包括《Adv. Math.》、《J. Reine Angew. Math.》、《Proc. London Math. Soc.》、《Int. Math. Res. Not.》、《Math. Z.》、《J. Combin. Theory Ser. A》、《Discrete Comput. Geom.》、《SIAM J. Discrete Math.》、《J. Comb. Optim.》等。 在整數分拆方面，我們解決了美國科學院院士、美國數學會前任會長G.E. Andrews和沃爾夫獎獲得者、美國科學院院士、英國皇家學會會員F. Dyson等人提出的猜想，成果入選“南開大學2015年度十大科技進展”。在對稱函式方面，我們利用發表在頂級數學期刊《Acta Math.》上的論文中的結構和算法解決了兩個組合猜想；解決了Lassalle關於Schur函式特殊化後取正值的猜想。在單峰型問題上，我們證明了Boros-Moll多項式的兩組變形的實根性和3階對數凹性。此外，我們還給出了美國科學院院士D. Kazhdan和G. Lusztig建立的R-多項式反演公式的組合證明；解決了六維0/1-多面體的計數問題，該問題被國際數學家大會45分鐘報告人G.M. Ziegler認為是超立方領域的一個困難問題。 在極值集合論方面，我們得到了有限向量空間上的Co-Kruskal-Katona定理。該定理包含有限向量空間上的Erdos-Ko-Rado定理為特例，而且還可以給出子空間中第二大交族的Hilton-Milner 定理的簡單證明，第二大交族的確定被認為是一個困難問題。 在代數圖論方面，我們解決了張量譜和超圖譜這個熱點研究方向中的若干個未解決問題。給出了張量的各階Traces 的若干圖論表示公式；證明了祁力群等提出的關於冪超圖的最大Laplacian 和無符號Laplacian H-特徵值的嚴格遞降性的猜想，以及關於超圖的Normalized Laplace 譜的譜半徑與其最大H-特徵值關係的問題；解決了V. Nikiforov提出的關於確定n階odd-colorable r一致超圖類的最大色數的問題。有4篇論文入選為ESI高被引論文。
