排列統計及其相關計數多項式的若干問題研究

《排列統計及其相關計數多項式的若干問題研究》是依託東北大學，由馬世美擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：排列統計及其相關計數多項式的若干問題研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：馬世美
• 依託單位：東北大學

中文摘要

排列統計是組合計數理論中內容最豐富的課題。本項目擬借鑑Species理論和“陳氏文法”理論中相對成熟的研究方法和手段，從新的角度研究排列統計量alternating runs以及與Jacobi橢圓函式相關的排列統計量。重點刻畫統計量alternating runs在D型Coxeter群、Simsun排列以及對合上的分布問題。尋找新的平台用來研究alternating runs是我們的研究目標之一。如何用與Jacobi 橢圓函式相關的微分系統刻畫與三角函式相關的排列統計量是本項目重點考慮的問題。注意到Jacobi橢圓函式、正切函式、正割函式以及對應的微分多項式都與統計量峰值密切相關，挖掘這一事實隱含的數學思想也是我們的研究目標之一。研究過程中涉及到的運算元既包括普通的微分運算元，也包括nested導子、Jordan導子以及Schwarzian導子。最後，本項目還將研究重集圈結構的計數問題。

結題摘要

排列統計理論是計數組合學的一個主要研究方向。本項目旨在借鑑Species理論和文法理論中相對成熟的研究方法和手段，從新的角度研究排列統計量。按照研究計畫，完成了研究目標。在項目執行期內，發表了11篇論文。利用Species理論和文法理論系統地研究了一些排列統計量，包括交錯子列數、峰數、降位數等。在Stirling排列、Simsun排列以及對合的研究方面得到了一些系統的成果。特別是在Stirling排列的研究方面發表了6篇學術論文，主要得到了以下結果：研究了對偶的Stirling排列上交錯子列的計數多項式，證明了這類計數多項式是對稱單峰的；利用Species理論探討了Stirling排列、排列的圈結構以及完美匹配這三個組合對象上同分布的統計量；引入了第二類Stirling排列，對Eulerian多項式和錯排多項式給出了新的刻畫；在Stirling排列上，通過引入上昇平台統計量對1/k-Eulerian多項式給出了新的組合解釋；得到了限位Stirling排列的平台數、降位數、上升數這三個統計量聯合分布的發生函式；研究了限位Stirling字上關於平台統計量的計數多項式。