《Durfee 多項式及其零點分布問題》是依託東北大學，由馬世美擔任項目負責人的數學天元基金項目。
基本介紹
- 中文名：Durfee 多項式及其零點分布問題
- 項目類別：數學天元基金項目
- 項目負責人：馬世美
- 依託單位：東北大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
多項式的零點分布問題一直是數學學科的主要課題之一，該課題受到當代組合數學權威R.Stanley和H.Wilf以及陳永川教授的重視。本項目旨在研究定義在整數分拆上的Durfee多項式及其零點分布問題。1998年，Canfield、Corteel 和 Savage猜想有八類Durfee多項式的零點全為實數。這個猜想引起了廣泛關注，但到目前為止只得到了與Durfee多項式有關的一些漸進值。研究這個猜想的難點在於Durfee多項式均滿足某種類型的高階遞歸關係，而次數相鄰的Durfee多項式之間的零點位置關係很難給出。本項目將圍繞這個猜想展開研究，重點討論分部量數分別為奇數和偶數的分拆以及自共軛分拆上的Durfee多項式。分析過程中將融入零點的穩定性理論和相容性理論，以期為解決該猜想起到一定的推動作用。探討穩定性理論和相容性理論的交叉點，可為高階遞歸關係的研究帶來新的研究視角。
結題摘要
關於Durfee多項式的研究是計數組合學中一項十分具有挑戰性的課題，圍繞該多項式展開研究具有重要的理論價值。由於Durfee多項式滿足高階遞歸關係，一個思路是尋找新的平台探討這種高階遞歸關係。我們已利用零點的相容性理論證明了定義在自共軛分拆上的Durfee多項式是實零點的。近年來，關於微分多項式的研究逐漸成為組合數學中的熱點課題之一。一個想法是探討Durfee多項式與微分多項式之間的聯繫。我們在微分多項式方面的研究進展主要有兩方面：其一利用正切函式的微分多項式，給出了n階對稱群中具有k個Alternating runs的排列數的一個顯式，這一結果修正了數學家L. Carlitz的顯式；其二通過引入一類雙變數的微分多項式，對分別定義在A型和B型Coxeter群上的Eulerian數給出了新的刻畫。微分多項式有著重要的組合套用前景，在後續研究中我們將繼續這方面的探討。
