《圖上若干極值問題的研究》是依託北京大學，由宋春偉擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：圖上若干極值問題的研究
- 依託單位：北京大學
- 項目負責人：宋春偉
- 項目類別：青年科學基金項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
極值組合學處於組合數學與圖論的交叉點上，很多計數問題本身研究的就是極值性質，而圖由於其自身的規則及多樣性提供了極好的研究對象。圖論中的極值問題是很多學者感興趣的熱點。此項研究計畫考查與圖上α, τ, γ等類型的重要參數相關的若干極值類問題，這些問題有深刻的組合背景，近年來受到廣泛關注。研究中結合傳統的組合手段與近年來逐漸成熟的組合數學中的代數方法、機率方法等工具，這是一項有特色和有前景的研究工作。
結題摘要
組合數學中的許多計數問題其本身研究的是極值問題，而圖由於其自身的規則性及多樣性提供了極好的研究對象，同時計數往往雖不明顯卻隱含在問題的背後成為組合問題的實質。本課題主要針對圖上參數問題、計數理論、極值圖論、組合統計量等相互交織的問題開展了多方面的研究。在三年的課題時間內，我們在對與組合參數相關的圖上組合極值問題的研究中取得了一些有科學意義的成果，包括：關於圖上極大獨立集，我們研究了若干重要圖構形的極大獨立多項式的單峰性、對數凸性和實根性，其中既用到組合方法，也用到機率方法等工具；針對當距離為2的任意一對頂點度數較大者有比范條件松一點的下界時，給出了與圖的Hamilton性有關的刻畫；得到一系列以q-二項式係數為係數的、關於q-調和數的恆等式，這是關於已知結果的q-模擬；得到有關圖上全控制數的最新結果；根據降數至少為d統計量得到關於集合分拆的計數結果及組合統計量生成函式；關於圖上Zagreb參數及其共軛參數得到兩類推廣的研究結果。針對困難的Tuza類問題，我們獲得了一些關於該猜想的更廣泛的理論推廣框架，希望未來在已有工作基礎上得到更加完善的理論。和以上工作有關的論文至今已經發表了5篇，其中兩篇研究論文分別發表在較有影響力的重要刊物美國數學會進展、印度科學院進展（數學版）上。國內外學術合作交流與人才培養情況方面，在全國組合數學與圖論大會等重要會議做邀請報告，取得了較好的學術交流效果，目前已指導1名碩士研究生畢業並有3名博士研究生在讀。
