《超圖中的一些極值問題》是依託湖南大學，由彭岳建擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：超圖中的一些極值問題
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：彭岳建
- 依託單位：湖南大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
極值圖論主要研究圖的一些不變數如邊數,色數,連通度,圖譜之間的關係,以及給出這些圖的不變數的極值使圖具有某些特定性質。1941年Turan提出了著名的Turan 問題：給定一個圖（超圖）F，有n個頂點不含F 為子圖的圖(超圖)最多能有多少條邊？這個最大值稱為F的Turan 數。對圖來說，Erdos－Stone 給出了一個里程碑結果：一個圖的Turan 數近似地取決於其色數。但對超圖我們卻知之甚少，事實上給出超圖的Turan 數是組合極值問題中最富有挑戰性的問題之一。超圖的Lagrangian 和超圖的一致性是極值問題中的重要工具。本項目將重點討論超圖中的一些極值問題，如超圖Turan密度的結構，對超圖Lagrangian的估算及其套用及一致性在極值問題中的套用，繼續我們提出的對Ryser關於超圖的頂點覆蓋數及匹配數關係猜想的研究思路的探討。希望在對這些問題的探討中，能形成一些新方法和思想。
結題摘要
Turán類問題是極值組合中的核心問題，對圖的情形，Erdős-Stone-Simonovtis結果給出了所有非二部圖Turán數的漸近值，但對超圖的Turán數僅有幾個已知結果。我們得到了幾類超圖的Turán數，並解決了Heftz-Keevash關於與4一致相交超圖相關的Turán數猜想。拉格朗日函式是研究Turán類問題的重要工具，在套用拉格朗日函式時，有兩個關鍵問題：刻畫ˋDenseˊ超圖及對超圖的拉格朗日的估算。我們刻畫了ˋDenseˊ3一致超圖其拉格朗日函式的最優向量需滿足的充要條件；在某些子結構給定的條件下，給出了ˋDenseˊ3一致超圖的刻畫。在對超圖的最大團數與拉格朗日關係的探討中， 我們對3一致超圖證明了當邊數與頂點數在一定範圍內時， 其拉格朗日等於其最大團的拉格朗日，並且我們結果中的界是最好的，我們局部地驗證了Frankl-Furedi在八十年代提出的關於一致超圖Lagrangian函式的猜想, 並改進了Talbot的結果。對幾類非一致超圖，我們引進了一個由超圖的邊集決定的多項式函式，從而得到了Motzkin –Straus型的結果並套用其給出了這幾個類型的完全非一致超圖Turán密度上界的估計。
