等度連續

設{f_n}為定義在實數集E上一列實數值函式，稱{f_n}在E上是等度連續的，如果任意ε>o，存在δ>o，使得當|x-y|<δ，x，y∈E及n≥1時，都有|f_n(x)-f_n(y)|<ε。顯然，如果{f_n}在E上等度連續，則對每一個n，函式f_n(x)在E上一致連續。

基本介紹

• 中文名：等度連續
• 外文名：equicontinuous
• 所屬學科：數學
• 相關定理：Ascoli-Arzela定理
• 相關概念：緊緻集、點式有界、一致有界等

定義

命(或寫成)為定義在實數集E上一列實數值函式，我們說 在E上是等度連續的，倘若對任意 存在一個 ，使得凡當 及 的時候都有

相關命題

命題1

命K為一個實數的緊緻集，若 在K上是一個一致收斂的連續函式的序列，則 在K上是等度連續的。

證明: 設給定 ，則存在一整數n₀及 使得，對一切 及

因為在緊緻集上連續的函式是一致連續的，我們有

對 及 成立，因此，若 與我們有

這與(1)一起證明了命題。

定義1

命 為定義在實數集E上的一個實數值函式序列，我們說 在E上是逐點有界，倘若序列 對每一 有界，就是說，倘若存在一個有限值函式h，定義在E上，使得

對一切 及一切 成立。

我們回憶一下 在E上叫做一致有界，倘若有一實數M使得

對一切及成立。

命題2

命K為一實數緊緻集，如果 在K上是點式有界及等度連續，則 在K上一致有界。

證明: 我們定義

給定我們選取 使得 蘊涵

對n=1，2，…成立，如果我們固定兩點x與y，不等式

蘊涵 以及不等式

蘊涵 ；因此凡當 的時候，

故 在K上是連續的，因為K是緊緻的，故 為有界。

命題3

(阿斯科利-阿爾采拉(Ascoli-Arzela)定理)命K為實數的一緊緻集，若在K上是點式有界及等度連續，則 在集K上含有一個一致收斂的子序列。

證明： 命E為K的一切有理點的集，則E是可數的，並且K是E的閉包，命 則 是一有界序列，由Bolzano-Weierstrass定理，可選取的一個子序列使得收斂，不妨設

再考慮，由Bolzano-Weierstrass定理，可以選取的一個子序列使得存在。

繼續這樣下去，得到一個子序列對m=1，2，…，使得存在，m=1，2，…．然後考慮對角線序列。

對固定的是的一個子序列，因此收斂於，所以在E的每一點上收斂。

對任意，由於在K上等度連續，存在一個，使得以及n≥1，有

因為K為E的閉包，且是緊緻集，在E內有有限多個點，使得

選取n₀，使得

對都成立。

於是，對任意的，有一點，其中，使得當時，有

因此，在K上一致收斂。