等度連續

等度連續

設{fn}為定義在實數集E上一列實數值函式,稱{fn}在E上是等度連續的,如果任意ε>o,存在δ>o,使得當|x-y|<δ,x,y∈E及n≥1時,都有|fn(x)-fn(y)|<ε。顯然,如果{fn}在E上等度連續,則對每一個n,函式fn(x)在E上一致連續。

基本介紹

  • 中文名:等度連續
  • 外文名:equicontinuous
  • 所屬學科:數學
  • 相關定理:Ascoli-Arzela定理
  • 相關概念:緊緻集、點式有界、一致有界等
定義,相關命題,

定義

(或寫成
)為定義在實數集E上一列實數值函式,我們說
在E上是等度連續的,倘若對任意
存在一個
,使得凡當
的時候都有

相關命題

命題1
命K為一個實數的緊緻集,若
在K上是一個一致收斂的連續函式的序列,則
在K上是等度連續的。
證明: 設給定
,則存在一整數n0
使得,對一切
因為在緊緻集上連續的函式是一致連續的,我們有
成立,因此,若
我們有
這與(1)一起證明了命題。
定義1
為定義在實數集E上的一個實數值函式序列,我們說
在E上是逐點有界,倘若序列
對每一
有界,就是說,倘若存在一個有限值函式h,定義在E上,使得
對一切
及一切
成立。
我們回憶一下
在E上叫做一致有界,倘若有一實數M使得
對一切
成立。
命題2
命K為一實數緊緻集,如果
在K上是點式有界及等度連續,則
在K上一致有界。
證明: 我們定義
給定
我們選取
使得
蘊涵
對n=1,2,…成立,如果我們固定兩點x與y,不等式
蘊涵
以及不等式
蘊涵
;因此凡當
的時候,
在K上是連續的,因為K是緊緻的,故
為有界。
命題3
(阿斯科利-阿爾采拉(Ascoli-Arzela)定理)命K為實數的一緊緻集,若
在K上是點式有界及等度連續,則
在集K上含有一個一致收斂的子序列。
證明: 命E為K的一切有理點的集,則E是可數的,並且K是E的閉包,命
是一有界序列,由Bolzano-Weierstrass定理,可選取
的一個子序列
使得
收斂,不妨設
再考慮
,由Bolzano-Weierstrass定理,可以選取
的一個子序列
使得
存在。
繼續這樣下去,得到一個子序列
對m=1,2,…,使得
存在,m=1,2,….然後考慮對角線序列
對固定的
的一個子序列,因此收斂於
,所以
在E的每一點上收斂。
對任意
,由於
在K上等度連續,存在一個
,使得
以及n≥1,有
因為K為E的閉包,且是緊緻集,在E內有有限多個點
,使得
選取n0,使得
都成立。
於是,對任意的
,有一點
,其中
,使得
時,有
因此,
在K上一致收斂。

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