秩2向量叢

秩2向量叢是比線叢更複雜的向量叢。 直觀上說，就是底流形上每點處的2維向量空間的粘合。秩2向量叢局部上拓撲平庸， 但整體上未必拓撲平庸。

基本介紹

• 中文名：秩2向量叢
• 外文名：rank 2 vector bundle
• 套用學科：幾何學

簡介

曲面上的切叢和餘切叢都是秩二向量叢，它們反映了曲面本身的性質。

設E是秩二向量叢， E'是其對偶叢，那么E'=E(-det E).

性質及套用

陳類

秩2向量叢有兩個陳示性類 (簡稱陳類 ，chern class) c1和c2. 這兩個示性類扮演了重要的角色。 按照向量叢陳類計算的分裂原理， 假想該向量叢可以分裂成兩個線叢的直和，那么c1和c2可以通過這兩個線叢被表達。

比如在代數曲面上，c1就是det(E)--可看成兩線叢對應的除子之和， c2就是兩個除子的相交數。

特別是代數曲面的餘切叢的陳類c1稱為典範除子，記為K. 其自交數K^2稱為典範體積 。

c2就是歐拉示性類 χ.

分裂性

在代數幾何中， 秩2向量叢是非常重要的一類對象。 人們想知道，一個秩二向量叢何時分裂。

射影直線上任何向量叢都可分裂為線叢之和，因此秩二向量叢分裂為兩個線叢直和。

在射影曲面上，存在不分裂的秩二向量叢。

對n維射影空間，n≧6, 人們猜測秩2向量叢必定分裂。 這個猜想也叫做哈茲霍恩猜想.

波格莫羅夫不等式

秩二向量叢陳類c_1, c_2 如果滿足不等式c_1^2>4c_2, 那么它必定不是半穩定的。

這就是著名的波格莫羅夫不等式。 它和代數曲面的宮崗-丘(Miyaoka-Yau)不等式在代數曲面理論中有著廣泛而深刻的套用。

波格莫羅夫定理誘導了著名的瑞德(Reider)方法, 為研究某類特殊線性系的性質提供了強有力的工具。

它還被套用於代數曲線 理論中最著名的凱萊-巴拉赫問題，即研究一條曲線經過另外兩條曲線的交點的問題。 這個著名的問題可以被演化為許許多多射影幾何中的經典定理， 比如帕斯卡定理等等。

三次覆蓋

三次覆蓋就是曲面之間的全純映射π：X→Y ， 使得映射次數degπ=3.

一個三次覆蓋對應了一個秩二向量叢 E. 反過來， 秩2向量叢張量上一個線叢後可以對應某個三次覆蓋。這樣， 研究三次覆蓋的問題等價於研究向量叢的問題。