映射度亦稱布勞威爾度或拓撲度。對一類連續映射的一種刻畫。對n維球面S到自身的每一連續映射聯繫一個整數。
設X，Y為拓撲空間，若存在連續映射f：X→Y和g：Y→X，使得gf≃Idx且f·g≃idr。這Id、id均表示恆同映射，則稱f為同倫等價，g為f的同倫逆，而將X與Y稱為具有相同的倫型，或簡稱同倫的，記作X≃Y。
相交數是重要的同倫不變數。映射度在更一般情形的推廣。
基本介紹
- 中文名：相交數
- 外文名：intersection number
- 領域：數學
- 來源：拓撲
- 實質：重要的同倫不變數
- 對象：微分流形
概念,映射,映射度,同倫,
概念
相交數是重要的同倫不變數。映射度在更一般情形的推廣。設M與N分別是m維與n維的緊緻有向(無邊)微分流形，n>m，A是N的(n-m)維閉有向子流形，f：M→N是C映射，f
A，對於p∈f(A)，當線性同構：
TpMTf(p)N→Tf(p)N/Tf(p)A
保持定向時，記為#p(f，A)=1；否則記為#p(f，A)=-1，則#(f，A)=∑p∈f(A)#p(f，A)∈Z(因為f(A)在M中余維為m)，稱為映射f對於子流形A的相交數。類似於映射度情形，得到：若f，g：M→N是光滑同倫映射，f
A，g
A，則：
#(f，A)=#(g，A)
由此可將相交數定義推廣到一般連續映射的情形。相交數有直觀的幾何背景，設M1，M2N都是N的有向(無邊)緊緻子流形，
dim N=dim M1+dim M2，
M1
M2(即處於一般位置)，i：M1→N為包含映射，則#(i，M2)實際上是M1∩M2中點的“代數”個數(按定向，每一點賦予適當的符號)，稱為(M1，M2)的相交數，記為#(M1，M2)或#(M1，M2;N)。從而：
#(M1，M2)=(-1)dimM1·dimM1#(M2，M1)
注意，當M，N或A不是可定向流形時，可類似於模2映射度而定義模2相交數#2(f，A)。
映射
亦稱函式。數學的基本概念之一。也是一種特殊的關係。設G是從X到Y的關係，G的定義域D(G)為X，且對任何x∈X都有惟一的y∈Y滿足G(x，y)，則稱G為從X到Y的映射.即關係G為映射時，應滿足下列兩個條件：
1.(x∈X)(y∈Y)(xGy).
2.(x∈X)(y∈Y)(z∈Y)((xGy∧xGz)→y=z).這個被x∈X所惟一確定的y∈Y，通常表示為y=f(x)(x∈X).f(x)滿足：
1) f(x)∈Y.
2) G(x，f(x))成立(x∈X).
3)z∈Y，G(x，z)→z=f(x).
關係G常使用另一些記號：f：X→Y或XY.f與G的關係是y=f(x)(x∈X)，若且唯若G(x，y)成立.可取變域X中的不同元素為值的變元稱為自變元或自變數。同樣可取變域Y中的不同元素為值的變元稱為因變元或因變數。始集X稱為映射f的定義域。記為D(f)或dom(f).終集Y稱為映射的陪域，記為C(f)或codom(f).Y中與X中的元素有關係G的元素的組合{y|x(x∈X∧y=f(x)∈Y)}稱為映射的值域，記為R(f)或ran(f).當y=f(x)時，y稱為x的象，而x稱為y的原象。y的所有原象所成之集用f(y)表示.對於AX，所有A中元素的象的集合{y|x(x∈A∧y=f(x)∈Y)}或{f(x)|x∈A}稱為A的象.記為f(A)。對於BY，所有B中元素的原象的集合{x|x∈X∧y(y∈B∧y=f(x))}稱為B的原象。記為f(B)。顯然：f(A)=f(x)，f(B)=f(y)。
映射度
亦稱布勞威爾度或拓撲度。對一類連續映射的一種刻畫。對n維球面S到自身的每一連續映射聯繫一個整數。設f：S→S(n≥1)是連續映射，(K，φ)是S的一個剖分，同調群Hn(S)Z，這裡Z表示整數加群，以[z]記同調群Hn(K)的生成元，若：
f~=φ°f°φ： |K|→|K|，
則有整數m使得f~的誘導同態f~n*([z])=m[z]，這個m稱為f的布勞威爾度，記為deg f.映射度deg f與S的剖分(K，φ)和Hn(K)的生成元的選取無關.根據誘導同態的性質，可得到下述結論：若f，g：S→S都是連續映射，則：
1.若fg，則deg f=deg g.
2.deg(f°g)=deg f°deg g.
3.對於S上的恆同映射1s，有deg 1s=1，對於常值映射c：S→S，有deg c=0.
根據以上性質，可以定義對應
deg#： [S，S]→Z，
使得對於f所屬同倫類[f]規定
deg#([f])=deg f.
根據霍普夫(Hopf，H.)的度數定理，deg#是一一對應。它表明S到自身的連續映射從同倫觀點看由其映射度惟一決定.映射度理論套用廣泛，如研究球面上向量場以及博蘇克-烏拉姆定理等。關於映射度還可推廣到能定向閉假流形以及其他領域中去。討論n維球面S到自身連續映射的同倫類構成的集合[S，S]，是映射的同倫分類問題中最基本的內容，並且很多幾何問題的解決都有賴於對這個集合性質的了解。研究這個集合結構的一種方法，就是對每個連續映射f：S→S聯繫一個整數，即所謂映射度，它是由布勞威爾(Brouwer，L.E.J.)首先提出的。
同倫
設f、g是拓撲空間X到Y的兩個連續映射，若存在連續映射H：X×I→Y使得：
H(x，0)=f(x)
H(x，1)=gx∈X
則稱f與g同倫，記為f≃g：X→Y或f≃g，映射H稱為f與g之間的一個同倫。f與g的同倫H也可理解為單參數映射族{ht}t∈I，ht連續地依賴於t且h0=f，h1=g，即當參數t從0變到1時，映射f連續地形變為g。與常值映射同倫的映射稱為零倫的。若以C[X，Y]表示X到Y的一切連續映射之集，則同倫關係≃是C[X，Y]上等價關係，每個等價類稱為一個同倫類，同倫類的全體所成集記為[X，Y]。設Y是R的子空間，f，g：X→Y是連續映射，若對每個x∈X，點f(x)與g(x)可由Y中線段連結，則f≃g：X→Y，若Y是R中凸集，任何映射f：X→Y都零倫，即[X，Y]僅含一個元素。設X，Y與Z均為拓撲空間，若f≃f：X→Y，g≃g： Y→Z，則gf≃gf： X→Z。
設X，Y為拓撲空間，若存在連續映射f：X→Y和g：Y→X，使得gf≃Idx且f·g≃idr。這Id、id均表示恆同映射，則稱f為同倫等價，g為f的同倫逆，而將X與Y稱為具有相同的倫型，或簡稱同倫的，記作X≃Y。與單點空間同倫的空間稱為可縮的，或者存在x0∈X，使得常值映射C：X→X。x1→x0與映射idx同倫，空間X可縮。R和R中凸集均為可縮空間。同倫關係是拓撲空間之間的等價關係。X可縮等價於下列幾條中任意一條：(1)idx≃0，即恆同映射idx零倫。(2) 對任意空間Y，映射f：X→Y，有f≃0。(3)對任意空間Z和連續映射g：Z→X，g≃0。
