線性系

線性系是代數幾何中最基礎的研究對象之一。線性系是代數簇上的一族線性等價的有效除子，它為射影空間所參數化。

基本介紹

• 中文名：線性系
• 外文名：linear system/linear series
• 適用範圍：數理科學

簡介

線性系是代數簇上的一族線性等價的有效除子，它為射影空間所參數化。

設 X 是域 k 上非奇異代數簇， 是 X 上的可逆層， 是 的整體截面的空間， 是一個有限維子空間，如果 ,則由 的截面零點所確定的除子是線性等價的有效除子。L 的一維子空間構成的射影空間 就是一個線性系，它給出了上述除子的參數化。如果 ，則稱線性系 為完全的（complete），同樣記為 。

用除子的語言可以等價地描述為：若 D 是 X 的一個除子， 是 X 上的有理函式，滿足 則稱除子集合

為線性系。若 包含所有與 D 線性等價的有效除子，則稱 是 D 的完全線性系。

設 是 L 的一個基，通過

可定義一個有理映射 。通常就說 由線性系 定義的。

固定分支

對於 ，線性系的固定分支（fixed component of a linear system)是指 X 上的一個有效除子 ，使得對任何 都有 ，其中 是一個有效除子。當除子 D 取遍 時，除子 構成一個線性系 ，它與 有相同維數。映射 與 是重合的。所以當考慮 時可以假設 沒有固定分支。在這種情形， 恰在 的基本集上沒有定義。

舉例

比如D和除子E線性等價，D=div(s)， E=div(t), 那么 f=s/t 恰好是個半純函式。

D的一個線性系， 就是指和D線性等價的一些 有效除子 構成的集合， 並且這些有效除子對應的截面全體恰好構成一個線性空間。D有很多線性系，其中有一個最大的線性系， 記為|D|, 它包含了其他任何一個線性系， 我們稱這個線性係為D的完全線性系。換句話說，|D|的所有元素對應的截面恰好構成了最大的線性空間。

有的時候，人們也把線性系中的有效除子直接用截面來替代，這樣我們就可以把線性系直接看成這些截面張成的線性子空間。 由此我們可以定義X到射影空間的映射。

比如|D|是由截面 s₀,s₁,...,s_n張成的線性系。於是可定義映射(其中Pⁿ是射影空間, [...]是射影齊次坐標)：Φ: X→Pⁿ， x→[s₀(x), s₁(x),...,s_n(x)]。有趣的是，這個映射和選取的基 s₀,s₁,...,s_n無關。 當然Φ在某些點上可能沒有定義，所以我們稱Φ為有理映射。

上面是用完全線性系定義的，也可用其他的線性系定義。反過來， 任何有理映射都是某個除子D的線性系定義的類似上述的映射。這樣，研究除子就有了很重要的幾何意義。