抽象線性系統(abstract linear system)是線性系統概念的一種推廣。線性系統的系統過程滿足疊加原理時的一種模式。在這類系統中，當系統無控制作用時，其過程的和及常數倍均仍為系統的過程。
基本介紹
- 中文名：抽象線性系統
- 外文名：abstract linear syste
- 領域：數學
- 性質：線性系統的推廣
- 函式：回響函式
- 意義：推廣已有線性系統的豐富成果
介紹,線性系統,
介紹
抽象線性系統(abstract linear system)是線性系統概念的一種推廣。若A為任一域，X，Y為A上的線性代數，關係S⊂X×Y設為非空，此外設：
1.s，s′∈S→s+s′∈S;
2.s∈S，α∈A→αs∈S′，
則S為一線性系統的充分必要條件為：存在全局回響函式R∶C×X→Y使得：C是A上之線性代數；存線上性映射R1∶C→Y; R2∶X→Y，使對所有(c，x)，有R(c，x)=R1(c)+R2(x)。
利用這一概念，可以把已有線性系統的豐富成果推廣而用於若干非傳統的問題。
線性系統
系統過程滿足疊加原理時的一種模式。在這類系統中，當系統無控制作用時，其過程的和及常數倍均仍為系統的過程。在有控制作用時，由初值與控制共同決定的過程可以分解為由具初值但零控制決定的過程與對應控制但零初值決定的過程之和。在系統的數學描述方法上，這類系統常由一狀態滿足的線性方程附加一線性控制所構成，系統的輸出也只線性地依賴於系統的狀態與控制。
從用數學描述系統的類型分，線性系統有：用常係數線性微分方程描述的定常連續線性系統；用常係數差分疊代方程描述的定常離散線性系統；用變係數線性微分(差分)方程描述的時變連續(離散)線性系統；用線性偏微分方程和積分方程描述的分布參數線性系統；用線性隨機微分方程描述的隨機線性系統以及方程中含有狀態的時間滯後量的時滯線性系統等。
定常連續線性系統是理論發展最為完善且套用廣泛的一類系統，除用微分方程組描述的狀態空間模式外，也有基於拉普拉斯變換的傳遞函式矩陣模式。後者由於可藉助頻率特性進行討論而為工程界所鐘愛.這類系統無論是結構性質(能控性、能觀測性、能鎮定性等)、穩定性及二次性能指標的最優控制均已有完整的理論，其研究工具主要是線性代數和與拉普拉斯變換有關的複變函數理論。近年來主要關心的課題是為抑制系統中含有的不確定性和干擾而發展起來的線性魯棒控制，包括H∞理論和具參數不確定性的魯棒控制理論等。
時變線性系統由於研究工具的不足，雖然在理論上可以得到與定常線性系統相近的一系列結論，但無論是這些結論的判定還是套用，困難均很大。比較有效的是基於時變線性方程解的形式進行估計或利用李亞普諾夫方法進行研究，其中一些只是近似的或有一定保守性的充分條件。
分布參數線性系統研究的主要對象是討論無窮維線性系統，套用線性泛函分析工具可以從理論上討論一些基本問題。但由於在無窮維與有窮維之間存在本質的區別，控制實際希望用有窮維甚至低階系統來實現，這就為分析和設計無窮維系統帶來大量的理論問題，例如控制溢出、觀察溢出等。
線性系統只是實際系統的一個近似模式。在系統平衡點附近，當線性模式是漸近穩定或本質不穩定時，它的這類特徵可以反映真實系統，但在遠離平衡點作大範圍運動時，線性系統模式就難以適應需要，特別對一些本質非線性的現象(自振、分岔、混沌現象等)用線性模式討論是不可能奏效的。
