可逆層

可逆層

可逆層是環空間上的一類結構層。當X是代數簇或解析空間時,可逆層與線叢之間有著一個一一對應的關係。此外可逆層與除子之間也有一個很好的對應關係,這使得可逆層成為代數幾何中的一個重要研究工具。

基本介紹

  • 中文名:可逆層
  • 外文名:invertible sheaf
  • 適用範圍:數理科學
定義,相關概念,性質,

定義

可逆層是帶環空間(ringed spaces)(X, 𝒪𝗑)上𝒪𝗑模的秩1的局部自由層。
等價定義為:局部同構於層𝒪𝗑的𝒪𝗑模層。X上的可逆層關於𝒪𝗑上的張量乘法運算可在同構意義構成一個阿貝尓群。這個群稱為空間X的皮卡群,記為PicX。層𝒵在這個群里的逆元是與𝒵對偶的層
。當(X,𝒪𝗑)是概形(尤其是代數簇)或是解析空間時,一個𝒪𝗑模層為可逆層,若且唯若它同構於X上某個代數(相應地,解析)線叢的正則(相應地,解析)截面的層。

相關概念

概形上的可逆層與除子有密切的聯繫。X上的每個卡吉耶除子D都可聯繫一個可逆層𝒪𝗑(D),從而定義一個單同態
,這裡
是X上的卡吉耶除子類群。對於整概形X,這個同態是同構。
在射影概形X上可以定義塞爾扭可逆層(Serre twisted invertible sheaf)𝒪𝗑(1)=𝒪(1)。實際上如果給出了概形X到射影空間PN內到一個嵌入,則𝒪𝗑(1)對應與超平面截面的類。在kᴺ+1\{0}上有一個乘法群k*的作用,使得ℙᴺ(k)稱為它的商。結構層在映射kᴺ+1\{0}→ℙᴺ(k)下的正象分裂成可逆層𝒪𝗑(n)(n∈ℤ)的直和,使得k*通過特徵標
作用在𝒪𝗑(n)上。特別當
是域k上的射影空間時,層𝒪𝗑(1)是kᴺ+1上的線形函式的層在自然映射kᴺ+1\{0} →ℙᴺ(k)下的正象。ℙᴺ(k)里的齊次坐標系
可等同於截面空間𝚪(ℙᴺ,𝒪(1))的一個基。

性質

設𝒵是概形X上的可逆層,
是𝒵的截面,這些截面在任何一點x∈X處的值在𝒪𝗑上生成𝒵𝗑。存在唯一態射
使得
,這裡
是ℙᴺ(k)里的齊次坐標。
如果存在嵌入
使得
,就稱X上的可逆層𝒵是極豐富的(very ample)。
如果存在正整數n使得𝒵n是極豐富的,就稱X上的可逆層𝒵為豐富的(ample)。
k上的諾特概形X的可逆層𝒵是豐富的,若且唯若對於X上的每個凝聚層𝒥,存在整數n0>0使得當n≥n0時層𝒥⊗𝒵n由它的整體截面生成。
如果除子D對應X上的一個豐富可逆層𝒵,就稱D為豐富除子(ample divisor)。設X是代數閉域k上的真光滑概形,則X上卡吉耶除子D為豐富的若且唯若對每個閉整子概形Y≤X,相交指數
取正值,這裡r=dimY。
極豐富和豐富可逆層的概念也可被轉移到解析空間的情形。

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