可逆層

可逆層是環空間上的一類結構層。當X是代數簇或解析空間時，可逆層與線叢之間有著一個一一對應的關係。此外可逆層與除子之間也有一個很好的對應關係，這使得可逆層成為代數幾何中的一個重要研究工具。

基本介紹

• 中文名：可逆層
• 外文名：invertible sheaf
• 適用範圍：數理科學

定義

可逆層是帶環空間（ringed spaces）(X, 𝒪𝗑)上𝒪𝗑模的秩1的局部自由層。

等價定義為：局部同構於層𝒪𝗑的𝒪𝗑模層。X上的可逆層關於𝒪𝗑上的張量乘法運算可在同構意義構成一個阿貝尓群。這個群稱為空間X的皮卡群，記為PicX。層𝒵在這個群里的逆元是與𝒵對偶的層 。當(X,𝒪𝗑)是概形（尤其是代數簇）或是解析空間時，一個𝒪𝗑模層為可逆層，若且唯若它同構於X上某個代數（相應地，解析）線叢的正則（相應地，解析）截面的層。

相關概念

概形上的可逆層與除子有密切的聯繫。X上的每個卡吉耶除子D都可聯繫一個可逆層𝒪𝗑(D)，從而定義一個單同態 ，這裡 是X上的卡吉耶除子類群。對於整概形X，這個同態是同構。

在射影概形X上可以定義塞爾扭可逆層（Serre twisted invertible sheaf）𝒪𝗑(1)=𝒪(1)。實際上如果給出了概形X到射影空間PN內到一個嵌入，則𝒪𝗑(1)對應與超平面截面的類。在kᴺ⁺¹\{0}上有一個乘法群k*的作用，使得ℙᴺ(k)稱為它的商。結構層在映射kᴺ⁺¹\{0}→ℙᴺ(k)下的正象分裂成可逆層𝒪𝗑(n)(n∈ℤ)的直和，使得k*通過特徵標 作用在𝒪𝗑(n)上。特別當 是域k上的射影空間時，層𝒪𝗑(1)是kᴺ⁺¹上的線形函式的層在自然映射kᴺ⁺¹\{0} →ℙᴺ(k)下的正象。ℙᴺ(k)里的齊次坐標系 可等同於截面空間𝚪(ℙᴺ,𝒪(1))的一個基。

性質

設𝒵是概形X上的可逆層， 是𝒵的截面，這些截面在任何一點x∈X處的值在𝒪𝗑上生成𝒵𝗑。存在唯一態射 使得 ，這裡 是ℙᴺ(k)里的齊次坐標。

如果存在嵌入 使得 ，就稱X上的可逆層𝒵是極豐富的（very ample）。

如果存在正整數n使得𝒵ⁿ是極豐富的，就稱X上的可逆層𝒵為豐富的（ample）。

k上的諾特概形X的可逆層𝒵是豐富的，若且唯若對於X上的每個凝聚層𝒥，存在整數n₀>0使得當n≥n₀時層𝒥⊗𝒵ⁿ由它的整體截面生成。

如果除子D對應X上的一個豐富可逆層𝒵，就稱D為豐富除子（ample divisor）。設X是代數閉域k上的真光滑概形，則X上卡吉耶除子D為豐富的若且唯若對每個閉整子概形Y≤X，相交指數 取正值，這裡r=dimY。

極豐富和豐富可逆層的概念也可被轉移到解析空間的情形。