典範除子

典範除子(canonical divisor)是代數簇上的一類特殊的除子。具體地，若X是光滑代數簇，Ω_X¹是X上的正則1形式芽層，ω_X=∧^rΩ_X¹，r=dim X，則稱可逆層ω_X對應的除子K_X為X的典範除子。等價地，X上正則r形式的零點和極點的代數和(考慮重數)所定義的除子稱為典範除子。典範除子在射影代數簇或緊複流形的分類中起重要作用，X的許多不變數就是通過典範除子及其上同調定義的。

基本介紹

• 中文名：典範除子
• 外文名：canonical divisor
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：代數幾何
• 性質：代數簇上的一類特殊的除子

基本介紹

設 是一個一維代數函式域。

定義1 設 是一個 線性泛函，如果 並且存在一個除子D，使 ，則稱 為 的一個微分。

設 是 的一個微分， 。令 ，是由 所定義的映射，則 ，故 ，故 仍然是的微分。這樣，的微分全體形成了一個-向量空間。

引理1設 ，則存在 ，使 。

引理2 設 為 的一個非零微分，則存在一個除子D，使 並且對任何滿足 的除子 都有 。

定義2設 為 的一個微分，滿足引理2中條件的除子D稱為 所確定的典範除子，記為 。

定義3 典範除子 是有效除子若且唯若

相關定理

引理3K上的微分全體形成的K-空間是一維的。

引理4設 是K的微分 所確定的典範除子， 是K的一個非零元素，則 等於 。

由引理3和引理4立刻可知所有的典範除子都是線性等價的，用 記任何一個典範除子。

定理1 黎曼-洛克定理對任何 ，都有

系1