向量叢(矢量叢)

向量叢

矢量叢一般指本詞條

向量叢是一個幾何構造,對於拓撲空間(或流形,或代數簇)的每一點用互相兼容的方式附上一個向量空間,所用這些向量空間"粘起來"就構成了一個新的拓撲空間(或流形,或代數簇)。

一個典型的例子是流形的切叢:對流形的每一點附上流形在該點的切空間。或者考慮一個平面上的光滑曲線,然後在曲線的每一點附上和曲線垂直的直線;這就是曲線的"法叢"。

向量叢是纖維叢的一種。

基本介紹

  • 中文名:向量叢
  • 外文名:vector bundle
  • 所屬學科纖維叢理論
定義,相關概念,叢的操作,性質,向量叢態射,截面,向量叢的操作,變種和推廣,

定義

向量叢π:E→M為纖維向量空間纖維叢

相關概念

設ξ=π:E→M為向量叢。
ξ的歐幾里得度量為(ξ⊗ξ)*的截面s,滿足對M中任意b,s(b)為纖維Eb內積
任意向量叢均允許存在歐幾里得度量。
拓撲空間M的切叢TM的歐幾里得度量,稱為M的黎曼度量,並稱M具有黎曼結構,定義了黎曼結構的流形稱為黎曼流形
向量叢為可平行流形,若其為平凡叢。

叢的操作

復向量叢η的復共軛為
實向量叢η的復化c(η)的纖維空間為ℂ⊗RF,結構群為G×G。
復向量叢η1的實化r(η1)滿足cr(η1)=η⨁
,rc(η)=η⨁η。

性質

設ξ為n維光滑流形B上的n階向量叢。B可被n+1個集U0,...,Un覆蓋,使得限制ξ|Ui為平凡叢。
設ξ為B上n階向量叢,γn,k格拉斯曼流形Gn,k上的n階萬有叢,當l足夠大時,存在映射f:B→Gn,l,滿足ξ≅f*γn,l。Gn,l稱為分類空間,f稱為分類映射
設B為k維光滑流形,則存在雙射Vectn(B)↔[B,Gn,n(2k+1)],其中Vectn(B)為B上向量叢ξ的等價類,[B,Gn,n(2k+1)]為ι∘f的同倫類,f:B→Gn,k為ξ的分類映射,ι:Gn,nk→Gn,n(2k+1)為包含映射。

向量叢態射

一個從向量叢π1:E1X1到向量叢π2:E2X2態射(morphism)是一對連續映射f:E1E2g:X1X2使得
  • gπ1= π2f
  • 對於每個X1中的x,由f誘導的映射π1({x}) → π2({g(x)})是一個向量空間的線性變換
所有向量叢的類和叢的射組成了一個範疇。限制到光滑流形和光滑叢射,我們就有了光滑向量叢的範疇。
我們可以考慮有一個固定底空間X的所有向量叢組成的範疇。我們取那些在底空間X上為恆等映射(identity map)的射作為在這個範疇中的射. 也就是說,叢射滿足下面的交換圖:
向量叢
向量叢態射
(注意這個範疇不是可交換的;向量叢的射的通常不能很自然的成為一個向量叢。)

截面

給定一個向量叢π:EX和一個開子集U,我們可以考慮π在U上的截面,也就是連續函式s:UE滿足πs= idU.本質上,截面給U的每一點一個從附在該點的向量空間中所取的向量,取值要有連續性。
例如,微分流形的切叢的截面就是流形上的向量場。
F(U)為U上所有截面的集合.F(U)總有至少一個元素:把V中的x映射到π({x})的零元的函式s.使用每點的加法和數乘,F(U)本身也成為了向量空間.這些向量空間的總和就是X上的向量空間的
s屬於F(U)而α:UR是一連續映射,則αs屬於F(U).我們可以看到F(U)是一個U上的連續實值函式的環上的。進一步講,若OX表示X上連續函式的層結構,則F是OX-模的一個層。
不是OX-模的每個層都是以這種方式從向量叢的導的:只有局部自由層可以從這種方法得到。(理由:局部的,我們要找一個投影U×RU的一個截面,這些恰好是連續函式UR,並且這一函式是連續函式URn-元組.)
更進一步講:X上的實向量叢的範疇是等價於OX-模的局部自由和有限生成的層的。
所以我們可以將向量叢視為位於OX-模的層的範疇內;而後者是可交換的,所以我們可以計算向量叢的射的核。

向量叢的操作

兩個X上的在同一個域上的向量叢,有一個惠特尼和,在每點的纖維為那兩個叢的纖維的直積。同樣,纖維向量積和對偶空間叢也可以這樣引入。

變種和推廣

向量叢是纖維叢的特例。
光滑向量叢定義為滿足EX是光滑流形,π:EX是光滑映射,而局部平凡化映射φ是微分同胚的向量叢。
實向量空間換成復的,就得到了復向量叢。這是結構群的約化的特例。也可以用其他拓撲域上的向量空間,但相對比較少見。
如果我們允許在局部平凡化中使用任意巴拿赫空間(而不僅是R),就可以得到巴拿赫叢。

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