基本介紹
- 中文名：拓撲域
- 外文名：topological field
- 領域：數學
- 性質：域
- 定義：具有拓撲結構的域
- 特點：既是域又是拓撲空間
概念,拓撲,拓撲空間,域,人物簡介——亨澤爾,
概念
拓撲域(topological field)是具有拓撲結構的域。若F是一個域，同時為一個拓撲空間，而且F中的代數運算在拓撲空間F中是連續的，即：對任意的a，b∈F，及a-b，ab的任意鄰域W，W′，存在a，b的鄰域U，V使得
當a≠0時，對a的任一鄰域W，存在a的鄰域U，使得UW，則稱F是拓撲域。亨澤爾(Hensel，K.)於1904年發表的有關p進數域的論文被認為是有關拓撲域的最早的研究。
拓撲
拓撲是集合上的一種結構。設T為非空集X的子集族。若T滿足以下條件：
1.X與空集都屬於T;
2.T中任意兩個成員的交屬於T;
3.T中任意多個成員的並屬於T;
則T稱為X上的一個拓撲。具有拓撲T的集合X稱為拓撲空間，記為(X，T)。
設T1與T2為集合X上的兩個拓撲。若有關係T1T2，則稱T1粗於T2，或T2細於T1。當X上的兩個拓撲相互之間沒有包含關係時，則稱它們是不可比較的。在集合X上，離散拓撲是最細的拓撲，平凡拓撲是最粗的拓撲。
拓撲空間
拓撲空間是歐幾里得空間的一種推廣。給定任意一個集，在它的每一個點賦予一種確定的鄰域結構便構成一個拓撲空間。拓撲空間是一種抽象空間，這種抽象空間最早由法國數學家弗雷歇於1906年開始研究。1913年他考慮用鄰域定義空間，1914年德國數學家豪斯多夫給出正式定義。豪斯多夫把拓撲空間定義為一個集合，並使用了“鄰域”概念，根據這一概念建立了抽象空間的完整理論，後人稱他建立的這種拓撲空間為豪斯多夫空間(即現在的T2拓撲空間)。同時期的匈牙利數學家裡斯還從導集出發定義了拓撲空間。20世紀20年代，原蘇聯莫斯科學派的數學家П.С.亞里山德羅夫與烏雷松等人對緊與列緊空間理論進行了系統研究，並在距離化問題上有重要貢獻。1930年該學派的吉洪諾夫證明了緊空間的積空間的緊性，他還引進了拓撲空間的無窮乘積(吉洪諾夫乘積)和完全正規空間(吉洪諾夫空間)的概念。
20世紀30年代後，法國數學家又在拓撲空間方面做出新貢獻。1937年布爾巴基學派的主要成員H.嘉當引入“濾子”、“超濾”等重要概念，使得“收斂”的更本質的屬性顯示出來。韋伊提出一致性結構的概念，推廣了距離空間，還於1940年出版了《拓撲群的積分及其套用》一書。1944年迪厄多內引進雙緊緻空間，提出仿緊空間是緊空間的一種推廣。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念，他的學生們進行了完整的研究。布爾巴基學派的《一般拓撲學》亦對拓撲空間理論進行了補充和總結。
此外，美國數學家斯通研究了剖分空間的可度量性，1948年證明了度量空間是仿緊的等結果。捷克數學家切赫建立起緊緻空間的包絡理論，為一般拓撲學提供了有力工具。他的著作《拓撲空間論》於1960年出版。近幾十年來拓撲空間理論仍在繼續發展，不斷取得新的成果。
域
設F是域K的子集，對於K的加法和乘法運算，F也做成一個域，則稱F是K的一個子域，K是F的一個擴域，記作K/F，稱K/F為一個域擴張。設，E/F和K/E都是域擴張，則稱E是K/F的一個中間域。設F是域K的子域，T是K的子集，K/F的含T的所有中間域的交仍是K/F的中間域，這個域記作F(T)，稱為F添加T所得到的擴域，或稱T在F上生成的域。當T= {t1，…，tn} 是K的有限子集時，記F(T)=F(t1，…，tn)，稱這個域是在F上有限生成的。特別地，添加一個元素t於F中而得到的擴域F(t)稱為F的單擴域。域F的擴域K可以看成F上的向量空間，如果K在F上的維數是有限的，則稱K是F的有限次擴域，K/F是有限次域擴張。K在F上的維數記作〔K：F〕，稱為K在F上的次數。設E是域擴張K/F的中間域，則〔K：F〕=〔K：E〕〔E：F〕。如果一個域沒有真子域，就稱為一個素域，在同構的意義下，只有有理數域Q和以素數p為模的剩餘類環Z/(p)是素域。任何一個域F的一切子域的交F0是一個素域，如果F0≌Q，則稱F是特徵零的，如果F0≌Z/(p)，則稱F是特徵p的，F的特徵記作CharF。設F是域K的子域，α∈K稱為F上的代數元，如果存在F上的非零多項式f(x)，使得f(α)=0，否則，則稱α是F上的超越元。設K/F是一個域擴張，如果K的每個元都是F上的代數元，則稱K/F是代數擴張，否則稱K/F為超越擴張。設K/F是一個域擴張，設A是K中在F上的代數元的全體，則A是K/F的中間域，稱F在K中的代數閉包。一個域K稱為是代數閉域，如果K〔x〕中每個次數大於零的多項式在K中有一個根。域F的一個擴域Ω稱為F的代數閉包，如果 (1)Ω是代數閉域;(2)Ω是F的代數擴域。任何一個域都有一個代數閉包。設E，E′都是域F的擴域，如果E，E′都域F的某個擴域的子域，而且存在E到E′的同構使F中的元不動 (稱為F-同構)，則稱E與E′在F上共軛，簡稱F-共軛。設E/F是一個域擴張，如果E/F是代數擴張，而且任意與E是F-共軛的域都等於E，則稱E/F是正規擴張。設F是一個域，f(x)∈F[x]，degf(x)>0，如果K是F的擴域，在K[x]中，f(x)=a(x-a1) …(x-an)，a∈F，a1，…，an∈K，而且K=F(a1，…，αn)，則稱K是f(x)在F上的一個分裂域。域F上的次數大於零的多項式f(x)，如果在F的某個代數閉包Ω內的根都是單根，則稱f(x)是可分的，否則就是不可分的。a是域F上的代數元，a滿足的最高次項係數為1的最低的多項式稱為a的極小多項式。設K/F是一個代數擴張，如果K的每個元素在F上的極小多項式都是可分的，則稱K/F是一個可分擴張。只含有限個元素的域稱為有限域，有限域的特徵必是某個素數p。設F含有q個元素，F的素域p含有p個元素，[F： P] =f，則q=pf。兩個有限域同構若且唯若它們有相同的元素個數。設Fg是含有q個元素的有限域，Fg的一切非零元素對於Fg的乘法做成q-1階循環群，從而有限域的有限次擴域都是單擴域。
人物簡介——亨澤爾
德國數學家。生於柯尼斯堡(Konigsberg)，卒於馬爾堡(Marburg)。曾在波恩大學、柏林大學學習，受到利普希茲、外爾斯特拉斯、克羅內克等名師的指導。1884年獲哲學博士學位。1901年被聘為馬爾堡大學教授，並擔任德國著名數學雜誌《純粹與套用數學雜誌》(Journal für die reine undangewandte Mathematik) 的 編輯。1931年獲得奧斯陸(Oslo)大學授予的名譽博士學銜。亨澤爾在函式論、代數學、數論等方面都有重要貢獻。在函式論方面，所謂克羅內克—亨澤爾法則提供了代數函式域的算術基礎。在代數學方面，他證明了矩陣的最小多項式的唯一性。他提出了P—進數的概念，通過進一步的工作，亨澤爾將P—進數發展成一套系統的理論。P—進數法則已成為解決代數數論問題的有效工具，在二次型、數域上的代數以及數論的研究中都得到了成功的運用。亨澤爾的主要著作有《代數函式論》(Theorie der algebraischenFunktionen，1902)《代數數論》(Theorie der algebraischen Zahlen，1908)及《數論》(Zahlentheorie1913)等。
