同倫群(homotopy groups)是基本群的高維推廣。基本群是從單位閉區間I到拓撲空間X的閉路的同倫等價類和其運算得到的。相對同倫(relative homotopy)是同倫群的推廣。
基本介紹
- 中文名：相對同倫
- 外文名：relative homotopy
- 領域：數學
- 性質：同倫群的推廣
- 相對概念：絕對同倫
- 對象：空間偶
概念,同倫,同倫群,
概念
相對同倫是同倫群的推廣。若(X，A，x0)是有基點的空間偶，定義：
P(X;x0，A)=(X，A，x0)
是X中以x0為始點，終點在A中的所有道路的空間，帶有緊開拓撲，則有自然的連續映射π：P(X;x0，A)→A，定義如下：對於ω∈P(X，x0，A)，π(ω)=ω(1).若n≥1是整數，則(X，A，x0)的第n個相對同倫集πn(X，A，x0)定義為：
πn(X，A，x0)=π0(Ω(P(X;x0，A))，ω0)，
其中Ω是定義在有基點的拓撲空間範疇上的閉路函子，π0(Ω(P(X;x0，A))，ω0)是Ω(P(X;x0，A))中包含常值閉路ω0的道路連通分支作為基點的所有道路連通分支的集合。由函子Ω的性質可知，πn(X，A，x0)=πn-1(P(X;x0，A)，ω0)。對於n≥2，πn(X，A，x0)是一個群；；對於n≥3，它是一個交換群；對於一切n≥1，πn是定義在有基點的拓撲空間偶上的一個函子。若f：(X，A，x0)→(Y，B，y0)是空間偶之間的保基點連續映射，則記：
相對同倫有一些與相對同調相類似的性質，例如，相對同倫的正契約倫序列等。
同倫
設f、g是拓撲空間X到Y的兩個連續映射，若存在連續映射H：X×I→Y使得：
H(x，0)=f(x)
H(x，1)=gx∈X
則稱f與g同倫，記為f≃g：X→Y或f≃g，映射H稱為f與g之間的一個同倫。f與g的同倫H也可理解為單參數映射族{ht}t∈I，ht連續地依賴於t且h0=f，h1=g，即當參數t從0變到1時，映射f連續地形變為g。與常值映射同倫的映射稱為零倫的。若以C[X，Y]表示X到Y的一切連續映射之集，則同倫關係≃是C[X，Y]上等價關係，每個等價類稱為一個同倫類，同倫類的全體所成集記為[X，Y]。設Y是R的子空間，f，g：X→Y是連續映射，若對每個x∈X，點f(x)與g(x)可由Y中線段連結，則f≃g：X→Y，若Y是R中凸集，任何映射f：X→Y都零倫，即[X，Y]僅含一個元素。設X，Y與Z均為拓撲空間，若f≃f：X→Y，g≃g： Y→Z，則gf≃gf： X→Z。
設X，Y為拓撲空間，若存在連續映射f：X→Y和g：Y→X，使得gf≃Idx且f·g≃idr。這Id、id均表示恆同映射，則稱f為同倫等價，g為f的同倫逆，而將X與Y稱為具有相同的倫型，或簡稱同倫的，記作X≃Y。與單點空間同倫的空間稱為可縮的，或者存在x0∈X，使得常值映射C：X→X。x1→x0與映射idx同倫，空間X可縮。R和R中凸集均為可縮空間。同倫關係是拓撲空間之間的等價關係。X可縮等價於下列幾條中任意一條：(1)idx≃0，即恆同映射idx零倫。(2) 對任意空間Y，映射f：X→Y，有f≃0。(3)對任意空間Z和連續映射g：Z→X，g≃0。
設A是空間X的子空間，i：A→X表包含映射，若存在連續映射r：X→A，使得r|A=idA(或r·i=idA)，則r稱為X到A的保核收縮，A稱為X的收縮核。若有保核收縮r：X→A滿足i·ridx：X→X，則H稱為X到A的形變收縮，A稱為X的形變收縮核，若同倫H還滿足對任意x∈A和t∈I有H(x，t)=x，則H稱為X到A的一個強形變收縮，A稱為X的強形變收縮核。強形變收縮是形變收縮，且若A是X的形變收縮核，則內射i：A→X是同倫等價。
兩個拓撲空間X和Y同倫等價的充要條件是：存在空間Z，使得X與Y分別同胚於Z的兩個強形變收縮核。
同倫群
同倫群(homotopy groups)是基本群的高維推廣。基本群是從單位閉區間I到拓撲空間X的閉路的同倫等價類和其運算得到的。考慮n維歐氏空間R中的n維方體：
存在i使得
，
設X為拓撲空間，x0∈X，用Mn(X，x0)表示全體連續映射α：(，)→(X，x0)所成的集合，α和α′相對於I的同倫關係αα′是Mn(X，x0)上的一個等價關係，它把Mn(X，x0)的元素分成一些同倫等價類，用πn(X，x0)表示這些等價類所成的集合.定義映射α*β：(I，I)→(X，x0)，使得：
從而，α*β∈Mn(X，x0)，並且，若α∽α′，β∽β′，則：
因此，可在πn(X，x0)中定義運算：
