異面直線所成角

過空間任意一點引兩條直線分別平行於兩條異面直線，它們所成的銳角（或直角）就是異面直線所成的角。角的範圍是θ∈（0°,90°]

（註：當所成角為90°時，兩直線垂直。）

基本介紹

• 中文名：異面直線所成角
• 概念：過空間任意一點引兩條直線分別平行於兩條異面直線，它們所成的銳角（或直角）就是異面直線所成的角
• 範圍：θ∈（0°,90°]
• 所屬學科：數學

分類

異面直線

1.直線a，b是異面直線，經過空間一點O，分別引直線A//a,B//b,相交直線A，B所成的銳角（或直角）叫做異

面直線a,b所成的角。

2. 異面直線所成角的計算。

（1）平移其中一條或兩條使其相交。

（2）連線端點，使角在一個三角形中。（或者平行四邊形等可以輕易求出角與角關係的基本平面幾何形中）

（3）計算三條邊長，用餘弦定理計算餘弦值。

（4）若餘弦值為負，則取其相反數。

公垂線

與兩條異面直線均垂直、相交的直線叫兩條異面直線的公垂線，兩條異面直線的公垂線有且只有一條。

兩條直線垂直

（1）相交垂直 （2）異面垂直

兩條異面直線的公垂線段的長度，叫兩條異面直線的距離。

求法

一般用幾何法和向量法都可以求。

幾何法

1.平移法。將兩條直線或其中一條平移（找出平行線）至它們相交，把異面轉化為共面，用餘弦定理或正弦定理來求（一般是餘弦定理）。一般採用平行四邊形或三角形中位線來構造平行線。

2.三餘弦定理法。運用三餘弦定理關鍵是要找出一條直線a所在的平面α和另一條直線b在該平面α內的射影，求出b與α所成角以及a與b的射影b‘所成角，進而求a與b所成角。

3.三稜錐法。三稜錐（四面體）中兩條相對的棱互為異面直線，設有四面體ABCD，其中AD與BC互為異面直線，那么它們所成角θ滿足以下關係：

運用該公式也可以求異面直線所成角。

向量法

1. 向量幾何法。運用向量的加減法規則，把要求的異面直線用向量表示，並運用向量的運算法則（例如分配律、共線向量）來求出cosθ
   
2. 向量代數法。當容易找到三條兩兩垂直的直線時，可以以它們的交點為坐標軸原點建立直角坐標系，運用代數方法計算。
   

判定方法

1.根據異面直線的定義：把不在任何一個平面內的兩條直線叫做異面直線。

2.異面直線的判定方法。

平移法

將兩條直線平移到同一平面，若相交，且在未平移之前不相交稱之為異面直線。（平移時也可以使用放縮法，將兩直線通過取中點、三等分點等方式使它們的頂點交於一點。）

反證法

：假設兩條直線不異面，則不是平行就是相交。假設一：相交——若相交則兩條直線有公共交點且共面，若不相交則證明假設二，假設二：平行——若平行則兩直線平移無交點，若不成立，則假設二不成立，則假設不成立，所以兩直線異面。或假設兩直線共面，並證明不成立。

直接證明

證明兩條直線不平行且不相交(建議難題用反證法）

坐標法

選取空間坐標原點，建立空間坐標系並將兩條直線上任意兩點的坐標讀出，並計算出兩直線的向量，比較其是否為平行向量若是則兩直線不異面。並用具體條件證明其不相交即可證明兩直線為異面直線。

判定定理

平面內一點和平面外一點的連線，與平面內不經過該點的直線互為異面直線。

例如平面ABC,D在面ABC外，那么AB和CD互為異面直線。（AD和BC,BD和AC也都互為異面直線）