直二面角

平面角是直角的二面角叫直二面角 平面內的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做半平面，從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形，叫做二面角（這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面）。

基本介紹

• 中文名：直二面角
• 外文名：right dihedral angle
• 釋義：平面角是直角的二面角
• 大小範圍：0≤θ≤π
• 大小：二面角的平面角大小數值
• ：

二面角的平面角

以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內分別作垂直於棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。

平面角是直角的二面角叫做直二面角。

兩個平面垂直的定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直。如圖1所示，∠EFM為平面PMC與平面PCD的直二面角。

圖1 兩互相垂直平面組成的直二面角

二面角的大小範圍

二面角的取值範圍為：0≤θ≤π。

1.當兩平面相交時，0<θ<π；

2.當兩平面共面時，θ=π或0；

3.當兩平面垂直時， 。

二面角的求法

作二面角的平面角的常用方法有七種：

1.定義法：在棱上取一點A，然後在兩個平面內分別作過棱上A點的垂線。有時也可以在兩個平面內分別作棱的垂線，再過其中的一個垂足作另一條垂線的平行線。

2.垂面法：作與棱垂直的平面，則垂面與二面角兩個面的交線所成的角就是二面角的平面角。

3.面積射影定理：二面角的餘弦值等於某一個半平面在另一個半平面的射影的面積和該平面自己本身的面積的比值。即公式cosθ=S'/S（S'為射影面積，S為斜面面積）。運用這一方法的關鍵是從圖中找出斜面多邊形和它在有關平面上的射影，而且它們的面積容易求得。

4.三垂線定理及其逆定理法：先找到一個平面的垂線，再過垂足作棱的垂線，連結兩個垂足即得二面角的平面角。

5.向量法：分別作出兩個半平面的法向量，由向量夾角公式求得。二面角就是該夾角或其補角。

6.轉化法：在二面角α-l-β其中一個半平面α上找一點P，求出P到β的距離h和P到l的距離d，那么arcsin(h/d)（二面角為銳角）或π-arcsin(h/d)（二面角為鈍角）就是二面角的大小。

7.異面直線的距離法：設二面角為C-AB-D，其中AC和BD互為異面直線且AC⊥AB，BD⊥AB（即AB是異面直線AC和BD的公垂線）。利用該方法求異面直線所成角θ，必須先由圖像判斷二面角是銳角還是鈍角。如果是銳角，那么取正號；鈍角，那么取負號。待求出θ以後，如果二面角是銳角，那么二面角的大小就是θ；鈍角，那么二面角的大小就是π-θ。

其中，方法1和方法2主要是根據定義來找二面角的平面角，再利用三角形的正、餘弦定理解三角形。

二面角一般都是在兩個平面的相交線上，取恰當的點，經常是端點和中點。過這個點分別在兩平面做相交線的垂線，然後把兩條垂線放到一個三角形中考慮。有時也經常做兩條垂線的平行線，使他們在一個更理想的三角形中。

另外，也可以用解析幾何的辦法，把兩平面的法向量n₁,n₂的坐標求出來。然後根據 ，θ=α為兩平面的夾角。這裡需要注意的是如果兩個法向量都是垂直平面，指向兩平面內，所求兩平面的夾角θ=π-α。

求二面角大小的基本步驟

1.作出二面角的平面角：

（1）利用等腰(含等邊)三角形底邊的中點作平面角；

（2）利用面的垂線（三垂線定理或其逆定理）作平面角；

（3）利用與棱垂直的直線，通過作棱的垂面作平面角；

（4）利用無棱二面角的兩條平行線作平面角。

2.證明該角為平面角；

3.歸納到三角形求角。

另外，也可以利用空間向量求出。

二面角與平面角的關係

二面角的大小就用它的“平面角”來度量。二面角的平面角大小數值就等於二面角的大小。

平面角為直角的二面角叫做直二面角。