異面直線的距離

和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線，公垂線與兩條直線相交的點所形成的線段，叫做這兩條異面直線的公垂線段。兩條異面直線的公垂線段的長度，叫做這兩條異面直線的距離。

基本介紹

• 中文名：異面直線距離
• 定義：兩條異面直線的公垂線段的長度
• 定理1：任意兩條異面直線且有一條公垂線
• 定理2：兩條異面直線的公垂線段長

有關定理

定理一：任意兩條異面直線有且只有一條公垂線。

定理二：兩條異面直線的公垂線段長（異面直線的距離）是分別連結兩條異面直線上兩點的線段中最短的一條。

常用計算方法

（1）找出（或作出）公垂線，計算公垂線段的長度。

（2）轉化為求線面間的距離。

過其中一條直線b上的任一點作另一條直線a的平行線c，b和c所決定的平面α與a之間的距離就是異面直線的距離。

（3）轉化為求平行平面間的距離。

過兩條異面直線作兩個互相平行的平面，這兩個平面間的距離就是異面直線的距離。

（4）向量方法：先求兩異面直線的公共法向量，再求兩異面直線上任意兩點的連結線段在公共法向量上的射影長。

公共法向量可以運用向量積找到，設任意兩點所連成的向量為，它們的夾角為，則異面直線的距離

該公式可以這樣理解：設異面直線AM和BN，其中AB是公垂線，M、N是兩條直線上任意的兩點。明顯地，MA⊥AB，NB⊥AB，根據射影的定義可知，是的射影，而就是異面直線的距離。

（5）若兩條異面直線在某一平面上的射影互相平行（或為一點和一直線），則可以求平行線的距離（或點到直線的距離），該距離就是異面直線的距離。

（6）幾何公式法：設有兩條異面直線a、b，a、b的公垂線AB長為d。在a上找另一點C，b上找另一點D，AC=m，BD=n，CD=l，異面直線AC和BD所成角為θ。則 。注意正負號的使用，當二面角C-AB-D為θ時取+，為π-θ時取-。

第二公式：設異面直線a、b分別位於二面角α-l-β的半平面上，a與l交點為M，b與l交點為N，且MN=t。a與l的夾角為θ1，b與l夾角為θ2，二面角大小為θ3，a、b所成角為θ，則a、b之間距離為

（7）向量公式法：設兩條異面直線的方向向量為和，是兩條直線上任意一點的連線的方向向量，則異面直線的距離

該公式具有明顯的幾何意義。分子是、和所構成的平行六面體的體積，分母是該平行六面體的底面積，異面直線的距離就是平行六面體的高。根據體積公式得h=V/S。

參考（4）的求法，我們可以發現恰好就是兩條異面直線的公共法向量，所以這兩條公式從本質上來說是一樣的，只不過解讀的角度不同而已。