環同態

環同態，在環論或抽象代數中，是指兩個環R與S之間的映射f保持兩個環的加法與乘法運算。

基本介紹

• 中文名：環同態
• 外文名：ring homomorphism
• 套用學科：數學
• 所屬領域：環論或抽象代數
• 相關術語：同態
• 性質：f(−a) = −f(a)

定義

在環論或抽象代數中，環同態是指兩個環R與S之間的映射f保持兩個環的加法與乘法運算。

更加精確地，如果R和S是環，則環同態是一個函式f : R → S，使得：

• f(a + b) = f(a) + f(b)，對於R內的所有a和b；
  
• f(ab) = f(a) f(b)，對於R內的所有a和b；
  
• f(1_R) = 1_S。
  

如果我們不要求環具有乘法單位元，則最後一個條件不需要。

性質

直接從這些定義，我們可以推出：

• f(0) = 0
  
• f(−a) = −f(a)
  
• 如果a在R內具有乘法逆元，則f(a)在S內具有乘法逆元，且有f(a) = (f(a))。
  
• f的核，定義為ker(f) = {ainR:f(a) = 0}，是R內的一個理想。每一個交換環R內的理想都可以從某個環同態用這種方法得出。對於具有單位元的環，環同態的核是一個沒有單位元的子環。
  
• 環同態f是單射，若且唯若ker(f) = {0}。
  
• f的像，im(f)，是S的一個子環。
  
• 如果f是雙射，那么它的逆映射f也是環同態。在這種情況下，f稱為同構。在環論的立場下，同構的環不能被區分。
  
• 如果存在一個環同態f:R→S，那么S的特徵整除R的特徵。這有時候可以用來證明在一定的環R和S之間，不存在環同態R→S。
  
• 如果R是一個域，則f要么是單射，要么是零函式。（但是，如果f保持乘法單位元，則它不能是零函式）。
  
• 如果R和S都是域，則im(f)是S的一個子域（如果f不是零函式）。
  
• 如果R和S是交換環，S沒有零因子，則ker(f)是R的一個素理想。
  
• 如果R和S是交換環，S是一個域，且f是滿射，則ker(f)是R的一個最大理想。
  
• 對於每一個環R，都存在一個唯一的環同態Z→R。這就是說，整數環是環範疇中的始對象。
  

例子

• 函式f:Z→Z_n，由f(a) = [a]_n=amodn定義，是一個滿射的環同態，它的核為nZ。
  
• 當n> 1時，不存在環同態Z_n→Z。
  
• 如果R[X]表示變數為X的所有實係數多項式的環，C表示複數，則函式f:R[X] →C，由f(p) =p(i)定義（在多項式p中用虛數單位i來代替變數X），是一個滿射的環同態。f的核由R[X]內所有能被X+ 1整除的多項式組成。.
  

環同態的種類

• 雙射的環同態稱為環同構。
  
• 定義域與值域相同的環同態稱為環自同態。
  

在環範疇中，單射的環同態與單同態是相等的：如果f:R→S是單同態而不是單射，則它把某個r₁和r₂映射到S的同一個元素。考慮從Z[x]到R的兩個映射g₁和g₂，分別把x映射到r₁和r₂；fog₁和fog₂是相等的，但由於f是單同態，這是不可能的。

然而，在環範疇中，滿射的環同態與滿同態是非常不同的。例如，Z⊆Q是滿同態，但不是滿射。