擬內射模

擬內射模(quasi-injective module)是擬投射模的對偶概念。擬投射模比投射模更廣。設M是左A模，若對每個滿同態f：AM→AN及每個同態r：AM→AN，一定有同態r-：AM→AM，使得f°r-=r成立，則稱M是擬投射模。投射模一定是擬投射模。

基本介紹

  • 中文名：擬內射模
  • 外文名：quasi-injective module
  • 領域：數學
  • 性質：內射模
  • 對偶概念：擬投射模
  • 方式：同態
概念,模,內射模,投射模,擬投射模,同態,

概念

擬內射模(quasi-injective module)是擬投射模的對偶概念。設M是左A模，若對每個單同態f：AN→AM及每個同態r：AN→AM，一定有同態r-：AM→AM，使得r-°f=r成立，則稱M是擬內射模。內射模一定是擬內射的。半單模也一定是擬內射模。

模

一個重要的代數系統。它是一個帶運算元區A的交換(加)群M。給定集合A與交換群M，若定義了a∈A與x∈M的乘積ax∈M，並且這個積滿足條件：
1.a(x+y)=ax+ay (a∈A，x，y∈M)，
則稱A為M的運算元區，稱M為帶運算元區A的模，又稱為A上的模或A模。這時，由對應(a，x)→ax確定的映射A×M→M，稱為A作用到M上的運算。任意a∈A可誘導出M的自同態aM：x→ax，而考慮交換群M能否成為A模就是看能否給出映射：
μ： A→End(M)，　a→aM.
特別地，考慮A是結合環，若滿足上述條件1的A模還滿足：
2.(a+b)x=ax+bx;
3.(ab)x=a(bx);
即映射μ：A→End(M)為環同態，則稱M為左A模或左環模。由於A到M上的運算是寫在左側，所以M就稱為左A模，記為AM。類似地，有右A模M，記為MA.若A有單位元1，且又滿足條件
4.1x=x (x∈M);
則稱M為酉模或麼模。

內射模

內射模是投射模的對偶概念。設Q是左A模，若函子HomA(-，Q)正合，則稱模Q為內射模；這等價於：對每個單同態f：K→M，及每個同態r：K→Q，一定有同態r-：M→Q，使得r-°f=r成立。對任意模M，一定存在內射模E，使得M是E的子模。若E是左A內射模，且E是左A模M的子模，則E是M的直和因子。若A是環，則存在充分多的左A內射模，例如，若Q是可除阿貝爾群，則HomZ(A，Q)是A內射模。貝爾準則是一個很有用的判別定理：對A的每個左理想I和每個A同態h：I→Q，若h都可開拓成h-：A→Q，即h-|I=h，則Q是內射模；反之亦然。內射模這一概念是由貝爾(Baer，R.)於1940年提出的；詹森(Johnson，R.E.)和黃德華於1961年將投射模、內射模這些概念推廣到擬投射模和擬內射模；山度米爾斯基(Sandomierski)於1964年推廣到相對投射模和相對內射模。

投射模

投射模是比自由模更一般的模。它是內射模的對偶概念。設P是左A模，若有左A模Q使P⊕Q同構於自由A模，則P稱為投射A模。這等價於：函子HomA(P，-)是正合的;也等價於：對每個滿同態f：M→N，及每個同態γ：P→N，一定有同態r-：P→M，使得f°r-=γ成立.對右A模有類似的定義與性質。任意左A模M必是某一左A投射模的商模;環A作為A模當然是投射模。自由模一定是投射模，投射模一定是平坦模；反之都不一定成立.當環A是主理想整環時，每個投射模都是自由模。塞爾(Serre，J.P.)於1955年曾提出一個著名的猜測(塞爾猜測)：域F上的多項式環F[x1，x2，…，xn]上的每個有限生成的投射模是否是自由模?奎倫(Quillen，D.G.)和蘇斯林(Суслин，М.Я.)幾乎同時於1976年用不同方法給以解決(他們得出更強的結果，即只要限制F為主理想整環即可)。另外，交換諾特局部環上每個有限生成的投射模也是自由的，這個結果首先由卡普蘭斯基(Kaplansky，I.)於1958年得到.投射模在模論、同調代數、代數K理論中有重要套用。

擬投射模

擬投射模是擬內射模的對偶概念。它比投射模更廣。設M是左A模，若對每個滿同態f：AM→AN及每個同態r：AM→AN，一定有同態r-：AM→AM，使得f°r-=r成立，則稱M是擬投射模。投射模一定是擬投射模。若A是半完全環，則A上每個擬投射模是投射模若且唯若A是半單阿廷環。若A是阿廷主理想環，則每個擬投射左A模也是擬內射的。半單模一定是擬投射模。

同態

設E與F為兩個群胚，它們的合成法則分別記為⊥與⊤. 稱從E到F中的映射f是群胚同態，如果對於E的任一元素偶(x，y)，有：
設E與F為兩個么半群(兩個群)，稱從E到F中的映射。是么半群(群)的同態，如果f是群胚的同態，且E的中性元素的象是F的中性元素。 (在群的情況下，後一個條件是自然滿足的，但是從加法么半群N到乘法么半群N的映射x↦0是群胚的同態， 而並不因此就是么半群的同態)。
設G為乘法群，而a為G的元素. 由關係f(n)=an所定義的從加法群Z到G中的映射f是群的同態。
設A與B為兩個環(兩個體)，稱從A到B中的映射f是環(體)的同態，如果f是加法群的同態，且為乘法么半群的同態. 這就是說，對A的任一元素偶(x，y)，有：
f(x+y)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)f(y)，
並且f將A的單位元變成B的單位元。
例如，設n為非零自然數；使任一有理整數對應其對模n的剩餘類映射是從環Z到環Z/nZ上的同態。設E與F為兩個A-代數(兩個酉A-代數)。 稱從E到F中的映射f是A-代數(酉A-代數)的同態，如果它是線性映射，並且是乘法群胚(乘法么半群)的同態。
例如，設E為交換體K上的非零有限n維向量空間，而B為E的基。 則從E的全體自同態之酉代數ℒ(E)到K中元素構成的全體n階方陣之酉代數Mn (K)中的映射，如果該映射使E的任一自同態對應它在基B中的矩陣，則這一映射是酉代數的同態。
同態的概念能用抽象的方式加以推廣。

熱門詞條

聯絡我們