泰勒公式

數學中，泰勒公式是一個用函式在某點的信息描述其附近取值的公式。如果函式足夠平滑的話，在已知函式在某一點的各階導數值的情況之下，泰勒公式可以用這些導數值做係數構建一個多項式來近似函式在這一點的鄰域中的值。泰勒公式還給出了這個多項式和實際的函式值之間的偏差。

泰勒公式得名於英國數學家布魯克·泰勒。他在1712年的一封信里首次敘述了這個公式，儘管1671年詹姆斯·格雷高里已經發現了它的特例。拉格朗日在1797年之前，最先提出了帶有餘項的現在形式的泰勒定理。

基本介紹

• 中文名：泰勒公式
• 外文名：Taylor's formula
• 提出者：泰勒
• 定義：用函式在信息描述其附近取值
• 特例：麥克勞林級數、拉格朗日定理
• 套用學科：數學、物理

歷史發展

泰勒簡介

18世紀早期英國牛頓學派最優秀代表人物之一的英國數學家泰勒（Brook Taylor），於1685年8月18日在英格蘭德爾塞克斯郡的埃德蒙頓市出生。1701年，泰勒進劍橋大學的聖約翰學院學習。1709年後移居倫敦，獲得法學學士學位。1712年當選為英國皇家學會會員，同年進入促裁牛頓和萊布尼茲發明微積分優先權爭論的委員會。並於兩年後獲法學博士學位。從1714年起擔任皇家學會第一秘書，1718年以健康為由辭去這一職務。1717年，他以泰勒定理求解了數值方程。最後在1731年12月29日於倫敦逝世。

泰勒以微積分學中將函式展開成無窮級數的定理著稱於世。這條定理大致可以敘述為：函式在一個點的鄰域內的值可以用函式在該點的值及各階導數值組成的無窮級數表示出來。然而，在半個世紀裡，數學家們並沒有認識到泰勒定理的重大價值。這一重大價值是後來由拉格朗日發現的，他把這一定理刻畫為微積分的基本定理。泰勒定理的嚴格證明是在定理誕生一個世紀之後，由柯西給出的。

泰勒定理開創了有限差分理論，使任何單變數函式都可展成冪級數；同時亦使泰勒成了有限差分理論的奠基者。泰勒於書中還討論了微積分對一系列物理問題之套用，其中以有關弦的橫向振動之結果尤為重要。他透過求解方程導出了基本頻率公式，開創了研究弦振問題之先河。此外，此書還包括了他於數學上之其他創造性工作，如論述常微分方程的奇異解，曲率問題之研究等。

發展過程

希臘哲學家芝諾在考慮利用無窮級數求和來得到有限結果的問題時，得出不可能的結論-芝諾悖論，這些悖論中最著名的兩個是“阿喀琉斯追烏龜”和“飛矢不動”。

後來，亞里士多德對芝諾悖論在哲學上進行了反駁，直到德謨克利特以及後來的阿基米德進行研究，此部分數學內容才得到解決。阿基米德套用窮舉法使得一個無窮級數能夠被逐步的細分，得到了有限的結果。

14世紀，瑪達瓦發現了一些特殊函式，包括正弦、餘弦、正切、反正切等三角函式的泰勒級數。

17世紀，詹姆斯·格雷果里同樣繼續著這方面的研究，並且發表了若干麥克勞林級數。直到1712年，英國牛頓學派最優秀代表人物之一的數學家泰勒提出了一個通用的方法，這就是為人們所熟知的泰勒級數；愛丁堡大學的科林·麥克勞林教授發現了泰勒級數的特例，稱為麥克勞林級數。

公式形式

泰勒公式形式

泰勒公式是將一個在x=x₀處具有n階導數的函式f（x）利用關於（x-x₀）的n次多項式來逼近函式的方法。

若函式f（x）在包含x₀的某個閉區間[a,b]上具有n階導數，且在開區間（a,b）上具有（n+1）階導數，則對閉區間[a,b]上任意一點x，成立下式：

其中，表示f（x）的n階導數，等號後的多項式稱為函式f（x）在x₀處的泰勒展開式，剩餘的R_n（x）是泰勒公式的餘項，是（x-x₀）ⁿ的高階無窮小。

泰勒公式

餘項

泰勒公式的餘項R_n（x）可以寫成以下幾種不同的形式：

1、佩亞諾（Peano）餘項：

這裡只需要n階導數存在。

2、施勒米爾希-羅什（Schlomilch-Roche）餘項：

其中θ∈（0,1），p為任意正實數。（注意到p=n+1與p=1分別對應拉格朗日餘項與柯西餘項）

3、拉格朗日（Lagrange）餘項：

其中θ∈（0,1）。

4、柯西（Cauchy）餘項：

其中θ∈（0,1）。

5、積分餘項：

其中以上諸多餘項事實上很多是等價的。

帶佩亞諾餘項

以下列舉一些常用函式的泰勒公式：

驗證推導

公式推導

我們知道，根據拉格朗日中值定理導出的有限增量定理有：

於是：

其中誤差α是在Δx→0即x→x₀的前提下才趨向於0，所以在近似計算中往往不夠精確。於是我們需要一個能夠足夠精確的且能估計出誤差的多項式：

來近似地表示函式f（x）且要寫出其誤差f（x）-P（x）的具體表達式。設函式P（x）滿足：

於是可以依次求出A₀、A₁、A₂、……、A_n，顯然有：

，所以；

，所以；

，所以；

，所以；

至此，多項的各項係數都已求出，得：

以上就是函式的泰勒展開式。

接下來就要求誤差的具體表達式了。設，令得到：

進而：

根據柯西中值定理：

其中θ₁在x和x₀之間；

繼續使用柯西中值定理得到：

其中θ₂在θ₁和x₀之間；

連續使用n+1次後得到：

其中θ在x和x₀之間；

同時：

而：

進而：

綜上可得：

一般來說展開函式時都是為了計算的需要，故x往往要取一個定值，此時也可把R_n（x）寫為R_n。

麥克勞林展開

函式的麥克勞林展開指上面泰勒公式中x₀取0的情況，即是泰勒公式的特殊形式，若f（x）在x=0處n階連續可導，則下式成立：

其中表示f（x）的n階導數。

當 ,其中δ在0與x之間時，公式稱為拉格朗日型餘項的n階麥克勞林公式。

當 , 且n階導數存在時，公式稱為帶佩亞諾型的n階麥克勞林公式。

近似表達正弦函式

公式套用

實際套用中，泰勒公式需要截斷，只取有限項，一個函式的有限項的泰勒級數叫做泰勒展開式。泰勒公式的餘項可以用於估算這種近似的誤差。

泰勒展開式的重要性體現在以下五個方面：

1、冪級數的求導和積分可以逐項進行，因此求和函式相對比較容易。

2、一個解析函式可被延伸為一個定義在複平面上的一個開片上的解析函式，並使得複分析這種手法可行。

3、泰勒級數可以用來近似計算函式的值，並估計誤差。

4、證明不等式。

5、求待定式的極限。

實例

例1、在x=0處展開三角函式y=sinx和y=cosx。

解：根據導數表得：

顯然y=sinx在x=0處具有任意階導數。

根據麥克勞林公式：

類似地，可以展開y=cosx。

例2、計算近似值，並估計誤差。

解：對指數函式運用麥克勞林展開式並捨棄餘項：

當x=1時：

取n=10，即可算出近似值e≈2.7182818。

誤差為

例3、歐拉公式：

（其中，即一個虛數單位）

證明：

由於在實數範圍以內，

將該式子擴展到複數系內以定義指數函式，得到

特別地，當上式z=ib時，有

把上面的b換成x，就得到了歐拉公式。

由歐拉公式，對任意一個複數z=a+ib，有

即複數z的指數函式依然是一個複數，這個複數的模r=e^a，幅角θ=b。

若b=0，則e^z=e^a（cos0+isin0）=e^a（1+0）=e^a，與實變函式f（x）=e^x在x=a時的函式值相同。