麥克勞林公式

麥克勞林公式是泰勒公式的一種特殊形式。

基本介紹

• 中文名：麥克勞林公式
• 外文名：Maclaurin's series
• 別稱：泰勒公式
• 提出者：麥克勞林
• 提出時間：1719
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：數理科學

定義

麥克勞林公式是泰勒公式（在 ,記ξ ）的一種特殊形式。

在不需要餘項的精確表達式時，n階泰勒公式也可寫成

由此得近似公式

誤差估計式變為

在麥克勞林公式中，誤差|R𝗻(x)|是當x→0時比xⁿ高階的無窮小。

若函式f(x)在開區間（a，b）有直到n+1階的導數，則當函式在此區間內時，可以展開為一個關於x多項式和一個餘項的和：

Tauc公式:

其中Rn是公式的餘項，可以是如下：

皮亞諾(Peano)餘項
爾希-羅什(Schlomilch-Roche)餘項	f(n+1)是f的n+1階導數，θ∈(0,1)
拉格朗日(Lagrange)餘項	f(n+1)是f的n+1階導數，θ∈(0,1)
柯西(Cauchy)餘項	f(n+1)是f的n+1階導數，θ∈(0,1)
積分餘項	f(n+1)是f的n+1階導數

常用公式

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

麥克勞林簡介

麥克勞林,Maclaurin(1698-1746), 是18世紀英國最具有影響的數學家之一。

1719年Maclaurin在訪問倫敦時見到了Newton，從此便成為了Newton的門生。

1742年撰寫名著《流數論》,是最早為Newton流數方法做出了系統邏輯闡述的著作。他以熟練的幾何方法和窮竭法論證了流數學說，還把級數作為求積分的方法，並獨立於Cauchy以幾何形式給出了無窮級數收斂的積分判別法。他得到數學分析中著名的Maclaurin級數展開式，並用待定係數法給予證明。

他在代數學中的主要貢獻是在《代數論》（1748，遺著）中，創立了用行列式的方法求解多個未知數聯立線性方程組。但書中記敘法不太好，後來由另一位數學家Cramer又重新發現了這個法則，所以被稱為Cramer法則。

Maclaurin的其他論述涉及到天文學，地圖測繪學以及保險統計等學科，都取得了很多創造性的成果。

Maclaurin終生不忘牛頓Newton對他的栽培，死後在他的墓碑上刻有“曾蒙Newton的推薦”以表達他對Newton的感激之情。