極分解

在數學中，特別是線性代數和泛函分析里，一個矩陣或線性運算元的極分解是一種類似於複數之極坐標分解的分解方法。

基本介紹

• 中文名：極分解
• 外文名：polar decomposition
• 定義：類似於複數極坐標分解的分解方法
• 套用學科：線性代數和泛函分析
• 套用領域：連續介質力學
• 相關條目：奇異值分解

定義介紹

在數學中，特別是線性代數和泛函分析里，一個矩陣或線性運算元的極分解是一種類似於複數之極坐標分解的分解方法。一個複數z可以用它的模長和輻角表示為：

其中r是z的模長（因此是一個正實數），而則為z的輻角。

矩陣的極分解

一個復係數矩陣A的極分解將其分解成兩個矩陣的乘積，可以表示為：

其中U是一個酉矩陣，P是一個半正定的埃爾米特矩陣。這樣的分解對任意的矩陣A都存在。當A是可逆矩陣時，分解是唯一的，並且P必然為正定矩陣。注意到：

可以看出極分解與複數的極坐標分解的相似之處：P對應著模長（），而U則對應著輻角部分 （）。

矩陣P可以由

得到，其中A* 表示矩陣A的共軛轉置。由於 為半正定的埃爾米特矩陣，它的平方根唯一存在，所以這個式子是有意義的。而矩陣U可以通過表達式得到。

當對矩陣A進行奇異值分解得到A = W Σ V後，可以因而導出其極分解：

可以看到導出的矩陣P是正定矩陣，而U是酉矩陣。

對稱地，矩陣A也可以被分解為：

這裡的U仍然是原來的酉矩陣，而P′ 則等於：

這個分解一般被稱為左極分解，而文章開頭介紹的分解被稱為右極分解。左極分解有時也被稱為逆極分解。

矩陣A是正規的若且唯若P′ =P。這時候UΣ = ΣU，並且U可以用與Σ交換的酉對稱矩陣S進行酉對角化，這樣就有S U S*=Φ，其中Φ是一個表示輻角的酉對角矩陣e。如果設Q = V S，那么極分解就可以被改寫為：

因此矩陣A有譜分解：

其中的特徵值為複數，ΛΛ= Σ。

將A射到其極分解里的酉部分U是一個從一般線性群GL(n,C) 射到酉群U(n) 的映射。這是一個同倫等價，因為所有正定矩陣構成的空間是一個可縮空間。實際上，U(n) 是 GL(n,C) 的極大緊子群。

有界運算元

從復希爾伯特空間到復希爾伯特空間的有界線性運算元A的極分解，是將其正則分解為一個準等距變換和一個半正定運算元的乘積。

矩陣的極分解被推廣為：如果A是一個有界線性運算元，那么可以將其唯一地分解為乘積A=UP，其中U是一個準等距變換，而P是一個半正定的自伴運算元，並且U的定義空間覆蓋P的像集。

無界運算元

如果A是復希爾伯特空間之間的閉稠定無界運算元，那么仍然有惟一的極分解

這裡 |A| 是一個（可能無界）非負自伴運算元，與A有相同的定義域，U是一個在值域Ran(|A|) 的正交補上為 0 的部分等距。

用上面同樣的引理，在無界運算元同樣一般地成立。如果Dom(A*A) =Dom(B*B) 和A*Ah=B*Bh對所有h∈Dom(A*A) 成立，那么存在一個部分等距U使得A=UB。如果Ran(B)⊂Ker(U)，則U是惟一的。運算元A是閉稠定的保證了運算元A*A是自伴的（有同樣的定義域），從而我們可以定義(A*A)。 利用引理便給出了極分解。

如果一個無界運算元A是對馮·諾依曼代數M的affiliated operator，且A=UP是其極分解，那么U在M中從而是P, 1_B(P) 對任何 [0, ∞) 中 Borel 集B的譜投影。

套用

連續介質力學中使用極分解來將形變分解成拉伸和旋轉的部分，其中P表示拉伸的部分，U表示旋轉的部分。

相關條目

• 奇異值分解
• 矩陣分解
• Cartan分解
• 岩澤分解