朗道量子化

朗道量子化

朗道量子化是指均勻磁場中帶電粒子的迴旋軌道發生的量子化。這些帶電粒子能量在一系列分立的數值中取值,形成朗道能級。朗道能級是簡併的,每一能級上電子的電子數量與外加磁場的強度成正比。由朗道量子化可以得出外磁場會導致材料中電子性質的振盪。這一理論是由蘇聯物理學家列夫·朗道於1930年提出的。

基本介紹

  • 中文名:朗道量子化
  • 外文名:landau quantization
  • 提出者:列夫·朗道
  • 提出時間:1930年
  • 學科:量子力學
  • 相關術語:朗道能級
推導,朗道能級,討論,規範變換影響,

推導

朗道量子化可以通過準經典的方法部分導出。這裡採用量子力學的方法進行推導:
考慮一個帶電粒子組成的二維系統。這些粒子無內部相互作用,所帶電荷為q,自旋量子數為S,並被限制在x-y平面內一個面積A=LxLy的區域內。
對這一系統施加一個沿z軸的均勻磁場
。由於自旋對於這個二維系統沒有影響,因而在下面的推導中將忽略自旋。在CGS單位制下,這個系統的哈密頓算符為:
式中
為正則動量算符,
為磁場的磁矢勢,與磁感應強度的關係為:
給定磁場的磁矢勢具有一定的規範自由度。當
被添加一個標量場梯度時,波函式的整體相位也會隨著標量場產生一定的變化,但由於哈密頓算符具有規範不變性,系統的物理性質並不受選定的規範影響。為了簡便計算,這裡選擇朗道規範
式中B=|B|,x為位置算符x方向上的分量。
在這一規範下,系統的哈密頓算符為:
算符
與這一哈密頓算符是對易的。這是因為在選定規範時,算符
被忽略掉了,因而算符
可被它的本徵值ħky替代。
如果設定迴旋頻率ωc= qB/mc,那么可以得出此時哈密頓算符為:
這與量子諧振子的哈密頓算符基本一致,但勢能的最小值需要在位置表象中移動x0=ħky/mωc
為了得出能量,我們假設對於諧振子勢能的平移並不會影響到系統的能量,也就是說這一系統的能量與標準的量子諧振子一致:
由於能量與量子數ky無關,因而會存在一定的簡併態
由於
與哈密頓算符是對易的,因而系統的波函式可以表示為y方向上動量的本徵值與諧振子本徵矢的乘積,但
也需要在x方向上移動x0,即:
總之,電子的狀態可以通過n與ky這兩個量子數表征。

朗道能級

朗道量子化所造成的效應只能在平均內能小於能級間差值,即kT ≪ ħωc時才能被觀測到。簡單來說就是溫度較低,外磁場較強。
每個朗道能級都具有一定的簡併度,因為量子數ky的取值情況為:
式中N為整數。N所允許的取值受到振子的運動中心坐標x0的影響。振子的運動必須在系統範圍內,也就是說0 ≤x0< Lx。這給出了N的取值範圍:
對於帶電量q=Ze的粒子來說,N的上限可以表記為磁通量的比值:
式中Φ0= h/2e為磁通量的基本量子,Φ = BA是系統的磁通量,面積A=LxLy
因而對於自旋為S的粒子,每個朗道能級的簡併度的最大值D為:
上述討論只是在有限尺度內給出的粗略的結果,嚴格來說,諧振子解只對在x方向上不受限的系統有效,如果系統尺度Lx是有限的,那個方向上的束縛態條件會導致磁場中的非標準量子化情況。原則上,兩個都是埃爾米特方程的解。多電子對於朗道能級的填充仍是研究熱點之一。
一般來說,朗道能級可以在電子系統中被觀察到,其中Z=1,S=1/2。隨著磁場增強,越來越多的電子會占據朗道能級。最高的朗道能級的占據情況會導致多種電子性質振盪,如德哈斯-范阿爾芬效應及舒布尼科夫-德哈斯效應。
如果考慮到塞曼效應的話,那么每個朗道能級都會分裂為一對能級:一個為自旋向上的電子占據的能級,一個是自旋向下的電子占據的能級。此時每個自旋朗道能級的簡併度就會是磁通量的比率:D=Φ/Φ0。兩個能級與分裂前的能級間隔是相同的:2μBB=ħω。然而在多個能級被占滿時,系統的費米能與基態的能量卻是大致相同的,因為塞曼效應造成的影響,在這些能級相加時會被抵消掉。

討論

在上面的推導過程中,x與y似乎並不對稱。然而,考慮到系統的對稱性,並沒有物理量能表征這兩個坐標的區別。在對x與y進行適當的內部變換後,可以得到相同的結果。
此外,上述推導中電子在z方向上運動受限的情形儘管在實驗中確實存在,如二維電子氣。但這一假設並不基本。如果電子在z方向上可以自由移動,那么波函式還需要乘以一個因子exp(ikzz),能量對應地需要加上(ħ kz)/(2m)。這一項會“填入”能級間隙,從而減小量子化的效果。但在垂直於磁場的平面x-y上的運動仍是量子化的。

規範變換影響

進行這樣的規範變換
運動學動量的定義為:
式中
為正則動量。哈密頓算符是規範不變的,因而
也會在規範變換後保持不變,但
會受到規範變換的影響。
為了考察規範變換帶來的影響,設磁矢勢為A與A'時的量子態為
由於
是規範不變的,可以得到:
設算符
會使
,則:
綜上所述:

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