朗道量子化

推導

朗道量子化可以通過準經典的方法部分導出。這裡採用量子力學的方法進行推導：

考慮一個帶電粒子組成的二維系統。這些粒子無內部相互作用，所帶電荷為q，自旋量子數為S，並被限制在x-y平面內一個面積A=L_xL_y的區域內。

對這一系統施加一個沿z軸的均勻磁場

。由於自旋對於這個二維系統沒有影響，因而在下面的推導中將忽略自旋。在CGS單位制下，這個系統的哈密頓算符為：

式中

為正則動量算符，

為磁場的磁矢勢，與磁感應強度的關係為：

給定磁場的磁矢勢具有一定的規範自由度。當

被添加一個標量場的梯度時，波函式的整體相位也會隨著標量場產生一定的變化，但由於哈密頓算符具有規範不變性，系統的物理性質並不受選定的規範影響。為了簡便計算，這裡選擇朗道規範：

式中B=|B|，x為位置算符x方向上的分量。

在這一規範下，系統的哈密頓算符為：

算符

與這一哈密頓算符是對易的。這是因為在選定規範時，算符

被忽略掉了，因而算符

可被它的本徵值ħk_y替代。

如果設定迴旋頻率ω_c= qB/mc，那么可以得出此時哈密頓算符為：

這與量子諧振子的哈密頓算符基本一致，但勢能的最小值需要在位置表象中移動x₀=ħk_y/mω_c。

為了得出能量，我們假設對於諧振子勢能的平移並不會影響到系統的能量，也就是說這一系統的能量與標準的量子諧振子一致：

由於能量與量子數k_y無關，因而會存在一定的簡併態。

由於

與哈密頓算符是對易的，因而系統的波函式可以表示為y方向上動量的本徵值與諧振子本徵矢的乘積，但

也需要在x方向上移動x₀，即：

總之，電子的狀態可以通過n與k_y這兩個量子數表征。

朗道量子化所造成的效應只能在平均內能小於能級間差值，即kT ≪ ħω_c時才能被觀測到。簡單來說就是溫度較低，外磁場較強。

每個朗道能級都具有一定的簡併度，因為量子數k_y的取值情況為：

式中N為整數。N所允許的取值受到振子的運動中心坐標x₀的影響。振子的運動必須在系統範圍內，也就是說0 ≤x₀< L_x。這給出了N的取值範圍：

對於帶電量q=Ze的粒子來說，N的上限可以表記為磁通量的比值：

式中Φ₀= h/2e為磁通量的基本量子，Φ = BA是系統的磁通量，面積A=L_xL_y。

因而對於自旋為S的粒子，每個朗道能級的簡併度的最大值D為：

上述討論只是在有限尺度內給出的粗略的結果，嚴格來說，諧振子解只對在x方向上不受限的系統有效，如果系統尺度L_x是有限的，那個方向上的束縛態條件會導致磁場中的非標準量子化情況。原則上，兩個都是埃爾米特方程的解。多電子對於朗道能級的填充仍是研究熱點之一。