朗道規範,即朗道量子化(Landau quantization),是指均勻磁場中帶電粒子的迴旋軌道發生的量子化。這些帶電粒子能量在一系列分立的數值中取值,形成朗道能級。朗道能級是簡併的,每一能級上電子的電子數量與外加磁場的強度成正比。由朗道量子化可以得出外磁場會導致材料中電子性質的振盪。這一理論是由蘇聯物理學家列夫·朗道於1930年提出的。
基本介紹
- 中文名:朗道規範
- 外文名:Landau quantization
- 別稱:朗道量子化
- 領域:量子力學
推導,朗道能級,討論,對稱規範中的朗道能級,規範變換的影響,參見,
推導
朗道量子化可以通過準經典的方法部分導出。這裡採用量子力學的方法進行推導:
考慮一個帶電粒子組成的二維系統。這些粒子無內部相互作用,所帶電荷為q,自旋量子數為S,並被限制在x-y平面內一個面積A=LxLy的區域內。
![](/img/2/89d/aba24d8e0a6425a4f16b6c53a700.jpg)
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![](/img/9/d22/90feb0b3c58269d7f7d20f4ad9e4.jpg)
在這一規範下,系統的哈密頓算符為:
如果設定迴旋頻率ωc= qB/mc,那么可以得出此時哈密頓算符為:
![](/img/2/017/b8b72d053e404383635fc4102dbb.jpg)
這與量子諧振子的哈密頓算符基本一致,但勢能的最小值需要在位置表象中移動x0=ħky/mωc。
為了得出能量,我們假設對於諧振子勢能的平移並不會影響到系統的能量,也就是說這一系統的能量與標準的量子諧振子一致:
![](/img/0/ebd/6e90b2b073ca166caabf8dab39d9.jpg)
由於能量與量子數ky無關,因而會存在一定的簡併態。
由於
與哈密頓算符是對易的,因而系統的波函式可以表示為y方向上動量的本徵值與諧振子本徵矢
的乘積,但
也需要在x方向上移動x0,即:
![](/img/f/410/114b9fe52196e4e20e5e57e0fb03.jpg)
![](/img/9/f00/7c5cf8ada2a8f768d577014e986a.jpg)
![](/img/a/41b/264141d7054abdde9bae6a1bc15f.jpg)
![](/img/4/bfa/70692b28661ae4ed3bb6db079939.jpg)
總之,電子的狀態可以通過n與ky這兩個量子數表征。
朗道能級
朗道量子化所造成的效應只能在平均內能小於能級間差值,即kT ≪ ħωc時才能被觀測到。簡單來說就是溫度較低,外磁場較強。
每個朗道能級都具有一定的簡併度,因為量子數ky的取值情況為:
![](/img/a/f06/d6e5814ac963989dff38336c1a6f.jpg)
![](/img/9/da0/5ba2f7d109b8a10a8400e807fd7e.jpg)
![](/img/1/68f/4b1eed3e82988c26fd5edd3692ba.jpg)
因而對於自旋為S的粒子,每個朗道能級的簡併度的最大值D為:
![](/img/6/674/9e834fb63cca8ad3fd18d031459a.jpg)
一般來說,朗道能級可以在電子系統中被觀察到,其中Z=1,S=1/2。隨著磁場增強,越來越多的電子會占據朗道能級。最高的朗道能級的占據情況會導致多種電子性質振盪,如德哈斯-范阿爾芬效應及舒布尼科夫-德哈斯效應。
如果考慮到塞曼效應的話,那么每個朗道能級都會分裂為一對能級:一個為自旋向上的電子占據的能級,一個是自旋向下的電子占據的能級。此時每個自旋朗道能級的簡併度就會是磁通量的比率:D=Φ/Φ0。兩個能級與分裂前的能級間隔是相同的:2μBB=ħω。然而在多個能級被占滿時,系統的費米能與基態的能量卻是大致相同的,因為塞曼效應造成的影響,在這些能級相加時會被抵消掉。
討論
在上面的推導過程中,x與y似乎並不對稱。然而,考慮到系統的對稱性,並沒有物理量能表征這兩個坐標的區別。在對x與y進行適當的內部變換後,可以得到相同的結果。
此外,上述推導中電子在z方向上運動受限的情形儘管在實驗中確實存在,如二維電子氣。但這一假設並不基本。如果電子在z方向上可以自由移動,那么波函式還需要乘以一個因子exp(ikzz),能量對應地需要加上(ħ kz)/(2m)。這一項會“填入”能級間隙,從而減小量子化的效果。但在垂直於磁場的平面x-y上的運動仍是量子化的。
對稱規範中的朗道能級
選定對稱規範:
![](/img/7/97a/2001f9fcadc44e31fff4249250fc.jpg)
![](/img/2/5e3/48b67fe45dfec4e5ebf3c4e7c201.jpg)
![](/img/8/9c7/58958158f6dabcbd0b1a3d45ce1a.jpg)
![](/img/3/9ae/283360ebe17649a8e640a83a2127.jpg)
引入算符:
![](/img/e/a9d/4bd64f17050a6ccbd51c64ef48d4.jpg)
![](/img/f/6de/8b52e450223c01e33db47680d83d.jpg)
![](/img/2/d1f/ae233c36a1c8319f492f4b14dad7.jpg)
![](/img/9/232/290de69f8b9d2a9ff226dd6bb557.jpg)
這些算符的對易關係為:
![](/img/f/86d/4537be262fc532429c8c777b42f8.jpg)
哈密頓算符可記為:
![](/img/9/56e/77bc5c5840b99bda3cb3f60afbab.jpg)
朗道能級序數n是
的本徵值。
![](/img/6/a74/7b77f2e1a7c4fdea901bd092b18b.jpg)
角動量z方向上的分量為:
![](/img/4/17b/d758123814ea73425775c839267f.jpg)
![](/img/3/6f1/a72bc1356bfeebd022561475cf42.jpg)
![](/img/b/c9e/ccc7ae27af0c9c2e72c36dbc483c.jpg)
![](/img/b/c45/95a5772be69adb7014ad8db542fd.jpg)
![](/img/5/da9/ae6ed60708b6bcad7332d941387b.jpg)
![](/img/d/ee0/de96165c5e8668d50e051ae1595b.jpg)
![](/img/8/4ad/9cf2e207893f92d1ba6b05fb763f.jpg)
使用
可以使m減小一個單位同時使n保持不變,而
則可以使n增大一個單位,同時令m減小一個單位。類比量子諧振子,可以得到:
![](/img/2/81d/f95285030b8c511126103556f8a1.jpg)
![](/img/4/50d/dceae82691b680ae2e0947fa3611.jpg)
![](/img/e/fc2/c73e85e4f9c16905a09f4367517b.jpg)
![](/img/5/bf0/a3b1f43ea921fc576c21d64e52a8.jpg)
![](/img/5/f5d/b0f1144828ff5f28728af27b1487.jpg)
在朗道規範與對稱規範下,每個朗道能級上的簡併軌道分別以量子數ky及m表征,每個朗道能級上單位面積的簡併度是相同的。